§ 32. Приложение формулы Тейлора
Пример.
С помощью формулы Тейлора приближённо вычислить у/ЇООО (с. точностью ИГ4).Решение. Представим
в следующем виде (си § 17):
2Ґ1-J-Y®.
^ 12S /
3 1
Используя формулу Тейлора, приняв х — а~ Тл' получим:
1 до 10
128 J
+ (ОД -1)(0,1 - 2) (-щ)а + • • }
+ ^ (ОД - 1)(0,1 - (ОД - 3) +.»
Покажем, что для обеспечения заданной точности достаточно ограничиться первыми тремя членами. Для этого оценим абсолютную величину остатка гп:
Все члены имеют одинаковые (разные'— см. § 59, 61) знаки, поэтому у всех членов гп изменим знаки, а зо всех скобках отбросим 1/10. От этого члены ряда, а следовательно, и их сумма увеличится. Тогда получим:
(4-
V 123
I
3!
1 10
гп <2
+
\12Н/
"1! 10
(4)5+-]
10 V 1 2&J "
+ І
Го'1'"'4
Проведём во всех членах сокращение дробей и вынесем скобку. Тогда получим:
l2
1 + I.-L+-I ГЛЛ +
з л 128 ъ UaaJ
гп < 2
Теперь в квадратной скобке заменим в знаменателях множители 4,5.6,,.. на 3. От этого все члены, начиная со второго, увеличатся^ а следовательно, увеличится и сумма. Вынося за скобку 1/3, получим:
й
(
-f—Y
15 V12S/
_3 128/
V
1 . 3
г
ті
1 +Т5 +
В квадратной скобке мы получили бесконечную геометрическую
прогрессию со знаменателем Сумма такой прогрессии равна
-в
<10
а это зна-
1 128 ^ I / 3 \ 128 Г = Ї2В" Следовательно, гп<^[ш) ¦ —
126
1 -
128
чительыо меньше, чем заданная точность, Таким образом,
— Ґ—Y
200 Vi2s;
v'lOOQ & 2
1 -
_ 2 ? 31
то
640 100 ¦ (120)*
= 2 - 0,00409 - 0,00005 = 1,99526 ^ 1,9953.
Значит, чтобы обеспечить точность вычисления \№00 до четвёртого десятичного знака, достаточно ограничиться двумя членами разложе* ння (см.
§ 26).Пример. Вычислить sin Iй с точностью до 10-8- Решение. Определим число членов разложения функции sm х (О ^ х ^ 1°) по формуле Маклорена для достижения заданной точности. Это число можно получить из оценки остаточного члена:
Я"
так как 1° —
180° 2m + l
и0,01744, то
2)11+1
х
гт(х) - И)
еті
X
cos vx С
(2т + 1)1 231
(2тп + 1)!
Отсюда m ^ 3; таким образом.
sl11 1° = Sill
3 и 0,017452 41.
ТГ
180° ~ 180^ 6{180)
Таблица бесконечно малых величин, подученная в § 18, позволяет найти пределы, в которых основную роль играют бесконечно малые первого порядка малости. Однако для вычисления пределов, в которых определяющую роль играют бесконечно малые более высокого порядка, можно пользоваться разложениями функций с помощью формулы Тейлора (см, §31).
sin х — з;
Пример. Найти lim -—-¦, ¦ .
JC^U X
Решение, Так как в знаменателе стоит бесконечно малая третьего порядка, ГО можно ЗЗЕСЛЮЧИТЬ, ЧТО В этом примере определяющую роль играют члены третьеЕо порядка малости. Используя разложение лід х по формуле Тейлора, имеем
тпх-х** ~ + _
5ІЇІX X і { 1 Х^ \ 1
Поэтому lim ¦— - lira - — — -.., = — —
J а:^о х ^ 3! 5J J З! Є
Пример. Найти пределы:
и Нш и+жхг-д+л.г ,Ini"--f". ff^o In (1 — 2x) х-Иї sr
'і/ГГІ - 1 —
— 1 — x In a
JB-; 6) lim я—»o
5) lim
ar-tO
. 7) lim ~ Я
и- I-Ol - - Зз;^
Решение, l) Так как в знаменателе стоит бесконечЕЮ малая второго порядка 1п*(1 - 2х) - [1п(1 - 2х)) = (-2аг + — Ах1 4- о{х2), то в числителе при разложении нужно удерживать члены второго порядка малости,
— Ш TLX
- ~ т(т — 1)(пя)й + = ^ птп(п — т).
2) Ит.
J х^О
11т -г(Х at—»Q V
3) Hm [. - * щ (і + I)] = Um [« -«» (I _ ? + „ (?))] в таи как lim х2о = 0.
4) lim Р + »)'-'— _
ДГ tgX
— lim Дг
1 4- пх + ^ ТІ(ТІ — — 1 - rtzj = | ЇІ(ТЇ ~ 1).
'УТ+х - 1 - -5) ІІШ —-
Г|
t—tO агсйіп х
m 2 m Vm / mj 2m
— lim і
зг—Q з:
,, ат — 1 — хЫа
Є) lim a.
1 *lna = lim \ Гі + ®1па+ІЛа а- 1-я1па] =' я-»0 I—COST Ї^О 12 J
= la2 a.
-- lica Л [1 - ^
in ST In «ЗВЇІ _
]=
7) lira
1 — (созд?)Е
0 1 - tyl - 3a* *
1 - e^lr+^J
= lim —t x^O Xі
— lim —я-
= lim —Ї
]- і - І
Задание. Проверить нахождение следующих пределов:
1 \иП arctg(j + a) -aTctgg _ 8ЇІ12 у/х
= lim -
х-ЇО х
1 +
arctg а + г—~т + - arcfcg а 1 + а
2. lim ? (tfl + Щ - Л = Hm ? {l + J^-l) =
= lim Г ^ = Km 1 (ї + 2 + ...+n)» lim Лг Sfedt^ „ * . n—<-e« 1' in ri^c» am f я-.® m i ax
~ ,, f.^sin X - х) 1 Г Д , X2 . Xя , , 3Л „
9. II ш — —- = - lim ( — + — 4- о(а^) ) х
о Іп(і-дГ) a:—Ofc'LV. 2 G J
X
X — л
1
3
]_ 6
1 2
в - ІІІП —= 1-іОт'
J ї
X X
Х + Х2 + + °(т3) -х-Х2
10.
}]т (1 + -« _ Um 1 ГІ 1.(1+,) а;—О ] — со$л/х *0 я [ J
- lim -
nf—jU X
¦c.
= _ 1іш ^ Г _ І ^ j _ jl J t L Э v ^ J
Отметим, применение формулы Тейлора (Маклорена) при нахождении пределов бывает полезно комбинировать L другими методами и преобразованиями, облегчающими разыскание пределов.
II. lim
П.—>№
— Lim
л—>йо TMt (і ті- пз? + 1
Здесь учтено, что = tg|L~|L-HO(|L).