§ 31. Представление функций sin ж, cos ж, In {1 + ж), (1. -+¦ ж)01 с помощью формулы Тейлора
по формуле Тейлора при а =0 имеем
№ = = ! + + .„ + |1-ЬГп+1(;с)1 где остаточный член в форме Лагранжа равєн
г[п+1) (®) = (ц-i-i)! 0 < в < 1,
2.
f{x) = ьїпт. Так как = aitt + n^) (см, §27), тоПри чётном 71,
при нечётном п (п = 1,3, 5,„.)
/"-Ho»™!-j ^
Так как п — нечётное, то по формуле Тейлора получаем:
Х^ Т5 „Зтп- 1
зіпX = Г - ~ + - . _ ... + (-1)—+ ra^wC®), 226
Г2т+if*) - ("l)m
созид:, т = 1,2,3...
(2rn +1)!
3. /(а;) = cos я, = cos ^а; + J ,
О
при нечетном п,
(—1) а при чётном тг {п « 0,2,4,6,...).
Тогда:
1 - S + Ж---И-1^' fel
Гат+зМ = (-1 )тН"' {27П + 2)\ C0SVX* т = 31 2' 3 ¦ ¦'
—п
4. f(x) =s (1 Н-я)0, где а — вещественное число. Поскольку /<Л) (я) - а(а - 1)... (а - п + 1 )(1 + /^(0) — — 1) ч, (а — гг + 1), то по формуле Маклорена имеем:
+
- 1) - ті -j-1) n
nl
+ Гп-11
В частном случае, когда сх = п — целое число, то гТ1(х) = 0, и мы получаем известную формулу Ньютона:
{1 + хГ = 1 + ? x + x2 + ... + x».
Если нужно получить разложение двучлена (а + аг)" то можно вынести а" за скобку и воспользоваться этой формулой, Таким образом, общий случай бинома Ньютона ямяется частным случаем формулы Маклорена:
22В _Диффєренциальнй'а-исчислйние Фикций одной переменной [ Гд] №
5. f(x) =\п(1 + х). Так как /{п)(а:) = (~l)n+l j™ ~ 1)1 (см. §27)
у L 4" 1'J
н /(О) = 0, /^(0) ~ (~1)п41(ті — 1)!, то по формуле Маклорена по* лучим:
7Ї
ті
Пример, Многочлен Рд(х) 1 -j- За; + — 2хл разложить по неот-рицательным степеням двучлена (ас4- 1).
Решение, Используя формулу Тейлора при a = — 1. имеем
щ*) - щ-1) + Fn-i) + ^'(-i) +....
Р3(-1) — 1—34-5 + 2 = 5, Ра(аг) - 3 4 Wz - бат2,
= lQ~12x, = —12, F^d)(*) - 0, ^(-1) - -13t
= 22, Pi"{-\) = -12, P3t4){ l) = 0 Таким образом, многочлен разложенный по степеням двучле
на (г 4-1), имеет вид:
Рь(х) = 5 - 13(я + 1)4- 11(® + I)2 - 2(і + I)3.
Пример. Написать первые три члена формулы Маклорена для
функции уґа:) — .
+ рг + (/
Решение Запишем исходную функцию в виде у(®)(аг 4- рх + ?7) — — ах 4 й и продифференцируем это равенство п раз, применяя формулу Лейбница.
Тогда получим (ті > 2)у(п){х){х2 + рх + У) +. nj/ и при X ~ 0 имеем + — " 0 или у(»>(0) = -ЕЛ - п— ^-^(0). іг-1 ЯГ* -'till—л я Эта формула (она называется рекуррентной) позволяет получить п-\о производную при х = 0 (п ^ 2), Так как у(0) = b/q, - ^ + + ~ № + ь№х. + Р) - у <0) ~ (^ОТ ~ Кр-IV ¦ то полагая и — 2 имеем ,«(„) = -яе Л0) - |«<Ю --a J (р- -1). Последовательно полагая п = 3,4,с помощью рекуррентной формулы можно получить производные высших порядков. Учитывая значе- 228 ник у(0)5 у {О) и у"(0), получим три первые члена формулы Маїоюрена для исходной функции у(х) - а х b ¦С2 + рх 4- q ь Q л:р 1 - Пример. Написать разложение функции - it^TW=(1Н+а1)10(1+ 2 до члена с х включительно. Решение, Учитывая, что (1 + а:)10 = 1 + 10st -h45r2 + (1 - х)~л = 1 + 4х + 10а;1 + (1 + 2*)_3 - 1 - 6х± 2ix2 + о{х2Ъ будем иметь їг(аг) = (1 + Ux + 9hx2 + о0гэ))(1 т 1 + 8z + 35яг Ь Пример, Функцию f(x) — уїя3Ч-9,-с2 -f 9 — х разложить по цельтм положительным степеням дроби - до члена с включительно, . X Я3 Решен и е. Преобразовывая функцию f[x) и используя разложение v 1 + х„ получаем
1
У -1 = X
Дя) = х Учитывая результати этого параграфа, таблицу эквивалентных бес-конечно малых можно представить в следующем виде: пусть х —і» О, тогда л ¦ х> sinx = х - ^rr -f tgx = х -f + У і) 2 4 Л cosх 1 - ^ + ^ - ОaJrctgz = х- — -^о(яг3)> id М Ш ±*> - ? 1п(1 ± .) = ? -?) + Ф2), з Ї e^ssl-l-^ + ^-f ах — 1 Н- а" Ь а + -5- In2 а + «(х3), orcein х — # + -g- + о{зг), (1 ± х)т = 1 ± пис + ^ m(m - 1)я;2 + 7rt 2m