§ I. ОБЩИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

В § 3 предыдущей глары было показано, что оператор в основной формуле у — j _ х теории регулирования может в некоторых условиях рассматриваться как сумма членов бесконечной геометрической прогрессии

+ (SR) + (SRf + (SRf+...

y = [}+(SR) + {SRf + ...\Sx

или же

y = Sx + (SR)Sx + (SR)2Sx+ ... . ^

Для более детального анализа динамики процесса регулирования следует учесть, что преобразования в системе регулирования требуют определенного времени. Поэтому переменные х и у должны быть «датированы», то есть поставлены в соответствие некоторым моментам или периодам времени. Предположим, что в данном Uом периоде на регулятор воздействует величина yt-ь то есть значение переменной у в предшествующий период. Тогда основная формула теории регулирования примет следующий вид:,

yt = S(xt + Ryi-1). (4.|)

Иными словами, мы допускаем, что существует определенное запаздывание (временной лаг) действия

регулятора во времени, причем это запаздывание можно принять за единицу измерения времени.

Формулу (4.1) можно преобразовать следующим образом:

yt = SRyt_1 + Sxt

или (введя в формулу оператор Е~1):

yt = SRE~lyt + Sxt.

Определяя из последнего уравнения уи получаем формулу

yt = г xt> (4.2)

ut - l — S^RE-1 1 v ;

которая аналогична основной формуле теории регулирования при мгновенном действии регулятора.

В разностном уравнении (4.1) можно исключить обратную связь, вводя переменную уи которая является отклонением переменной yt от состояния равновесия, определяемого формулой У — Х- гда получим:

— S Sx

Уі^Уі— 1-.SR x = S#yt- 1+Sx— i — SR ~

= SRyt-x—

или же yt — SR [yt-1 — t _f5/? x^j. В итоге получим приведенное разностное уравнение yt = SRyt-v (4.3)

ибо

УІ-\ — I1SR х ~ у*-і ~ У^ У*-**

Решение уравнения (4.3) таково:

yt^{SR)'y0.

^Решение (4.4) дает возможность исследовать динамику процесса регулирования во времени. Как известно, условие устойчивости состоит в том, чтобы абсолютное значение оператора SR было меньше 1 (|S/?|<1), причем, как указано выше, абсолютное значение оператора есть верхняя грань абсолютного значения его пропускной способности.

Условие |S/?|<1 можно записать также в виде

lRK-щ- Назовем абсолютное значение R мощностью регулятора, а абсолютное значение S — мощностью регулируемой системы. Тогда можно сказать, что условие устойчивости системы регулирования состоит в том, чтобы мощность регулятора была меньше обратного значения мощности регулируемой системы. В таких случаях говорят также, что обратная связь является компенсационной.

ПривёденнЬе определение условия устойчивости системы нетрудно истолковать. Если регулятор должен работать эффективно, то он должен уменьшать

возмущения, возникшие в системе. Если I R I > -ущ .

то регулятор работает чрезмерно активно, и процесс, протекающий в системе, отдаляется от состояния равновесия. В этом случае говорят, что имеет место куму-

лятивная обратная связь. В случае !-/?! = -ущ » то есть

когда мощность регулятора равна мощности регулируемой системы, говорят, что система находится на границе устойчивости; возникшее возмущение не ликвидируется и не возрастает; каждое состояние является состоянием равновесия.

Операторам регулятора и регулируемой системы мы будем приписывать (там, где это имеет смысл) определенный знак — плюс или минус. В случае когда преобразование заключается в умножении на действительное число (пропорциональное преобразование), лучше в качестве знака оператора брать знак при соответствующем действительном, числе. Операторы других преобразований получают знак (плюс или минус) путем их умножения на единичный оператор пропорционального преобразования +1 или —1. Знаки при операторах R и S должны быть одинаковыми, если состояние выхдда регулятора имеет тот же знак, что и изменение состояния выхода регулируемой системы.

Предполагая, что оператору приписан определенный знак, нетрудно убедиться — на основании формулы (4.4), —что если знаки при операторах R и S одинаковы, то есть sign S = sign /?, то отклонение в данной системе является односторонним (монотонным). Иными словами, в следующих друг за другом периодах система постоянно находится выше или ниже уровня равновесия.

В случае, когда R и S имеют одинаковый знак, говорят, что в системе регулирования существует положительная обратная связь.

Если операторы R и S имеют разные знаки, то говорят, что в системе регулирования существует отрицательная обратная связь. Тогда отклонения носят колебательный характер. Как видно из формулы (4.4), отклонения от состояния равновесия в последовательных периодах меняют знак, ибо показатель степени t является попеременно четным и нечетным. Колебания являются возрастающими, затухающими или постоянными в зависимости от того, |5/?|>1, \SR\<1 или |S/?| = 1.

Приведенные результаты могут быть сведены в следующую таблицу, в которой приводятся области, соответствующие различным значениям SR.

Графическая иллюстрация отдельных случаев течения динамических процессов приведена на рис. 47, где представлен конкретный пример динамики формирования рыночной цены.