§ 49. Несобственные интегралы

Решение.

'г Iя

— Іітп 1 cos xdx = lim sin аг і ¦ lim йіїі R — предела не имеет, R~nx> J Ft—* оо 1С ft—00

Аналогично:

R

г Iя

Д — lim sin x dx = — lim cos я — — lim (cos R — 1; — предела * fi^oc J fi^w І0 R-tco

0

не имееТн а колеблется между 0 н 2 Следовательно, интегралы 13 и расходятся.

Пример 4. Определить, при каких значениях р интеграл |

сходится и при каких расходится. Решени е,

оо я

1) р = — = Ііш і —1 = Іітп 1пЫ J X Я-~+оо J X Лчй)

гра л расходится.

= lim 1ft ії = 00, ннте

1 Л-нсо

.]-1> і ft

2)P?41: [5- И» ІЩ- m ~Г= - — —i—1;

' 7 J Ґ ft—J Л-ЮО ] - p 11 л—ОС 1 P 1 - p]

11 L J

С

дя —1"\

ходится;

— — оо, интеграл расО. j

б) p > і, тогда 1 - р — -{3, р > О, Hm

Л = і = -i) 0 p-i'

-0

интеграл сходится,

. а 2 .

„ - п т f sm х ¦ cos х dx Пример 5. Вычислить интеграл /r = r г-— ¦> *

J (sin3 а + cost ф)

0 я

Решение. Сделаем замену ?=tgz, i = = X = — ^ t =

сю, т.е. мы преобразовали собственный интеграл в несобственный.

f , di

-a-, dx = V

1 +11 і +1

1 1 2 '2 -j, sm х =

Учитывая, что cos х = —г—^

1 + \g2 х 1-hi' получим;

*/2

v/2 oo

smv a: * cos2

—б—

сон + tg

It =

xdx _ Г tg? x dx _ [" t2 jt

;az)3 " J <*»¦«(! + tg3*)3 ~ j {Г+?І

R 0

Л д V f tVt 1 .. г d/t3 +1) 1 TI 1 — lim — - lira -P—= - - hm —

f «а;

Пример 6. Вычислить интеграл /б = —3 (a >0).

J і 4-а

_ „ О

Решение. Применяя метод неопределённых коэффициентов, разложение подынтегральной функции ищем в виде

I А Лх+С

З І з х -h а

Т

х + а х -ах+ а~

Далее приводя к общему знаменателю, получаем равенство числителей 1 = А^ - ах+ а2) + (х + +С).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем

х'

X

0=А + В,

— -аЛ + + С,

— а2 А + лС,

отсюда находим: А = 1/(За2), В — — 1/(За2), С = 2/(За).

оо

-I

О

dx

2а ^ х

и

dx

= lim —-j Ті — оо ж

¦f

ж^ТЙ1

2 , 2 яг — ах + а

х + а

1

І :г э Ї

I av — ах + а

(я; -I- а)3 к

lim За я—оо

* —~ + VJ nrctg

ЇО

ттг

\/зЛ = 2*

rj " за VT

2. Интеграл от функций, имеющих разрыв. Пусть функция /(а:) в точке л; = Ь либо не определена, либо терпит разрыв, а а остальных точках отрезка [а,6] интегрируема. Тогда интеграл

b ir— а

/ = [ f(x) tlx =s Um f(x) dx

J л-^гО J

а а

также называется несобственным от функции /(зс). Если предел существует, то Еіесобственшісй интеграл называется сходящимся. Если этот предел бесконечен или не существует, то расходлшимсл-

Аналогично определяются несобственные интегралы» когда функция имеет разрып на конце х ~ а или и некоторой внутренней точке х = с отрезка [а, й}:

ь ь

j f(x) dx - ftlimo j f(x)dx-t

a a+a

D

j /(a

4]

\f(x)dx =

J 5

a] b

lim +o

f[x)dx +

ї4йз

— числа a\ v. Ct2 стрсмртся к нулю независимо одно от другого. Если этот предел не существует, но существует пределе при ОС 1 = Л2, то он называется главным значением несобственного интеграла,

тг/2

А

Пример 1. Вычислить интеграл J? = tg xdx.

особая точка.

Решение. Так как при а; = ^ tg^ = оо.тох = ^

Тогда (а +0)

ІІІП

tgxdx = - lim (In |cas^')jj »

= - lim

at—

In cos — aj — In cosOj = - ^J^11 sin ^ — 0) = oo, интеграл расходится.

ь ,

Г ИгГ

Пример 8, Вычислить интеграл =

J

Решение.

la = Urn

= lim 2^/і Ь = lim f~2Ja) = 2<Д. \fx п-tO+O с a—D+D V /

f dx

Пример 9. Вычислить интеграл /g = —==

Л V -

Реше ни е. При д; ~ ±1 подынтегральная функция терпит разрыв

dx

+

eta

-1

v/l -л*

rfl)

= lim arcsins

vT

= -1їт І

a-tO

i-i+ft

a—j

—l+ce

7Г"

= - lim arcsm (-1 + q) = —;

2 ' 2

/9 — ig + /g У = - T - = ТГ.

г ^^

-і

Пример 10.

- и 1 _

dx

Xі

= lim Г Щ + lim f Ц ^ lim (-1) I ° + lim (-1) ct^Q J x3 f^Oj а—О \ I/ I, e—(Л X/

-1 e

= lim (I - lU lim + A) — 00 Ч- 00 — 00,

а—0 \ce і Є'—>0 \ є/

интеграл расходится.

в

Пример 11. Вичислить интеграл /ц = J

Решение.

-'?V

Гц = lim | + lim or—*Q J ух *-*0 -І dx v 'A 1 -s— = lim - 2 + - lim хЪ —

2 e—»0

— ^ lim ?. ft—>0

Пример 12. Проверить правильность нахождения следующих несобственных интегралов.

f xe~*3dx= lim \(-\)e-x*d{-x2) = -}- lira є"1' = J J V 2/ 2 fi^oo L

0 0

= - ' lim fe-*' -1) = I 2 л-юО V J 2

7-Йг- = Ііш fe - lim J xln ® Я—J ID I ft-tm З— П

^ br

- fe ((1 -n)(in/ІГ-1 - г^й) - ^T J>-

3. Найти главное значение несобственного интеграла

» Л / Ч

f lim Г [-J--+ _!!,] dx =

J Ц- Зґ R^w j l+x7/

R

-R

= lim (arctgx + s + l2)|

JJ—v 2 J

= ^lim^ [arctgR - nretg(~fl) + ± 1л (1 f Я2) - ^ In (1 + R2)) =

— 2 Um arctga = 2 ¦ — = nr.

Д—too л

4. Г —= ^ = bm !

І я + a ft—eoj

о 0

x da:

+ a3 ft—к> J fa; + — ax + о ) 0

R

= lim f(U- + Л d*-

rt—oo J V a; + а ас - o® ¦+a / О '

„ 1 lim T f і и , * + ? Л =

3a Я^со J x + a x-ax + a*J

[ Гл. VI

366

Интегральное исчисление

r

о

= ~ 1ігґ| ( — + -Ь і 1» (х2 — ах + а2) + arctg )

1 А. /^-дЯ + а2

2ft - a аУз

+ V5 arctg

За R^ooS^ 2 Q аУз j

6 /

2гг

С

Заї/З

Здесь учтено, что коэффициенты Л, и, С удовлетворяют (см. пример б) системе уравнений А 4- В =0, -аА 4- аВ Л-С — 1, С. + аЛ — 0 и равны

5 "" ® З'

Найти главные значения следующих несобственных интегралов;

со

оо

1 4 Xі + 2х

, Г

J х(1 + а )

dx -

V * 1+ЗГЇ

-оо

л 4

= h +І2 =г о + 2тг — 2тг,

-а ,Л\

оо -ft

Л — Г = Um (

X

J Е а-Л V J

-=*» jr-oc- -л

л

— ) = lim [In \х\ Х) «-0 \

= lim (Ilia - In Я bin In а) — 0.

оо

із = 2 "——г — 2 lim

1 + х я— оо

— I» -л

dx

-—— = 2 lim (arctgЯ - arctg(-J?}) =

1 + X fi—ЮО

- 2 lim 2 arctg л = 2 ¦ 2 ¦ - = 2тг>

ос

(і^з " ^ij ** -

G

dx 1 v

__—~ = _ iim

о

Xі - 2x - 3 4 А-*ж

a

t* , R Ц .

x-3 J x — 3 J x + 1 /

R

ЗІ

— — Ііш Піг І г — 4 \

3-й

+ їп — In І® 4

0 Із-г-ч

U—О

і lim (Ln а — In 3 Ч- In і ft — 31 - In а — In ІЯ + 11 ™h lii 1) =

fl-too

=4

In 3.

In 3 1 =

= ї/іігаоо(Іп!їЬгт

dx

Ч--

0

T^f 1 _ 1 ) =

9a:+ 20 J \x-4 i—5/

— - lim f hi a^o V І з; — 4 I 4-е

, x - A

+ In v Г+ь.|-ї 1 x — Б1 0 j -1 hs-5

M + Ck R 5-ffi

)-

С

R-4 П-5

-ln^ -bin о

1 -с

tt

a

-In

H- In

1 + a

1-а.

= — Lim f In

a-»0 s—>0 Л-»оо

1-а 1+ft

1-е 1 +?

— In - 5

1 +?

-In

\ = - lim fin / а—а ^ 1 Я — 41 1 і? - 5 1

Л-юо u -5

HaH™ интеграл /= j f^-fey "ли Де) =

Решение,

Г ГШ»

J і+/"(») J

jffe) _ 1 + /2(*0

= lim /arctg/(ic) + arctg/(я) + arctg /(х) ).

а_0 \ l-2+й

{7-.0

8

Учитывая, что arctg/(-3) - arctg0 = 0, arctg/(L) = arctg а также

lim arctg/(-2 + a) « lim aictg —^ - arctg(oo) —

of—»0

lim arctg/(-2 - a) - lim arctg - J %r — arctg^-oo) ~ ~t a—>0 <*—>0 ft [-ft т «

a(a -2}

7Г 2

lim arctg /(0 ~е) — lim. arctg ^ = arctg(-oo) =

lim arctgДО + г) = lim arctg —= ^ctg(oo) = ~

?—с—-О Є^Є -j- 2)

получим, что

Т ^ л Л" ТГ . , fl 1Т , _ 8 <-> _

1 = - 2 - 5 +atetg3 - г =arctS3

= —е

9. jn = 7E»«r* * = Г"=f • du, ns"~ ** J V с dx = шк v

о

оо

СО f

= -з^е"*

+ п хП е = 1,

О J

так как

п-1

— = 0

lim R1le~R= lim ~ - lim ^

Л—'ОО Л—»ос е Д—«оо в"

(правило Лопиталя), В итоге имеем рекуррентное соотношение Jn —

ой

= nJ^i при п * 0, е~х dx - -Й^17]^ ¦-- 1, поэтому = ті! (€! — 1).

і

оо оо

10 [ c~x*x2m41 dx = і J t~**{x )mdx2 = ^ Jm. Здесь сделана зао

мена х t.

оо

Jm .- | e"'tmdt — mJm-l — ... 'Пі! (см. предыдущий пример), по

этому

j

§ 50. Геометрическое приложение определённого интеграла