§ 16. Непрерывность функций

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке ® = дгц, если она определена в некоторой окрестности точки дго- в самой точке ха и если lim Ay = 0 яли lim [/ (яо + Дя:) — / (JTQ)] = О, Т.

Ах—>0 Лі-«О

У = /(а;) непрерывна в точке гсо, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Усло&ие непрерывности lim [/(яр Ь Дя) — / — 0 можно за писать в другом виде. Обозначив х = Xq -+- Ах, при Ах —> 0 получим, что х стремится к XQ, тогда имеем lim [/(я) — — 0 lim f(x) =

я—ид х—MQ

— lim f{xo) = J{xq) Н окончательно lim f(x) — / (,ти) ¦

Так мак XQ = lim х, то последнее раненство можно записать в виде: lim f(x) = f( lim я).

Следовательно, для непрерывной функции символ *ЛЇШ> предельного перехода и символ f обозначения функции можно менять местами, т.е, для того, чтобы найти предел непрерывной функции при X Хо, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента х его предельное значение

Примеры.

lim sin х = sin х [ lim з; j — sin о;

на \x—ia /

ПтЗ^-зО1"*) — 3а = 9;

lim [in (1 + x) * j = In [ііш(1 + lne= 1»

При нахождении пределов полезно знать, что если / и ^ функции непрерывные. то:

lim In f(x) = In/(lim я:) — In f(a), если f (a) > 0;

s—щ л—»a

lim a'M = о—„«») = ^O-M =а/(І0).

ІІШ [.№)]" = !/(*?)]" н Hm - WNIB;

«.(up.»)

= ['fe*)]

1ІГН ^(r)

4. lim[/(i)M»> = [lim f(x)

t [.a;—^a.

- шг^

Некоторые свойства непрерывных функций:

[Гп.'Щ

164

Введение в математический анализ

если /(т) и ^(а')непрерывны Б точке X, то непрерывные функции f(r) ф:). (последняя непрерывна при условии ^{я) ф А);

!ї) если функция непрерывна а каждой точке некоторого интервала, го она непрерывна и на этом интервале;

3) всякая элементарная функция непрерывна в каждой то^ке, в которой она определена.

Примеры, I) Докажем, что функция у = х1 непрерывна в произвольной точке an- Действительно,

Ді/ » + Aj) - = (xq + Ax)2 -x'i = 2xo ¦ д* + (Ая^)2 835

= Ах{Ъя0 + Ai), lim Да = Uni Д-г -h Дл?) = 0 - 2xq ~ 0,

Да-tQ ЛЇ^О

Докажем, что f(x) = sinx непрерывна в произвольной точке Действительно,

&у »" /(ха + Дх) - /(xoJ = ?in(jTo + Дя) - siti.ro =

Ax\ ~~2~) 1

n - Ґ.

= 13 am —j- ¦ cos

lim Ді/ 2 lira sin ^ ¦ Urn cos (x<\ + 0 - cos x^o ~

Д*-ко О 2 Ді^о V 2 J

Если функция непрерывна на отрезке и значения сё на кондак отрезка имеют противоположные знаки, то найдётся по мены и ей мере одна такая точка внутри этого отрезка, что значение функции в этой точке равно нулю.

Если функции непрерывна на отрезке, то она принимает на этом отрезке наибольшее и нанменыиее значения,

Еслн в некоторой точке х — то нарушается непрерывность функции, то точка JTO называется точкой разрыва.