§ 18. Неопределённые выражения

I Пусть нужно найти предел отношения двух функций при х а (а — любое число, либо один из символов оо, 4-оо, —оо), причём и числитель, н знаменатель одновременно стремятся к нулю при х а.

169

170

Гл. Ш

Если при отыскании предела отношения двух функции окажется, что и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности _ имеем неопределённость вида оо/оо.

При нахождении предела разности двух фуЕткций, каждая из которых имеет бесконечный предел, возникает неопределённость вида оо - оо. Ее можно свести к вицу О/О или оо/оо

Если при нахождении предела произведения двух функций окажется, что один из сомножителей стремится к нулю, а другой к бесконечности, то получим неопределенность G oo. Эту неопределённость также можно свести к виду О/О или оо/оо.

Кроме перечисленных неопределённостей возможны неопределённости вида 1°°. 0°, оо°т 0~

В настоящем параграфе мы изложим некоторые методы раскрытия неопределённостей вида G/0, оо/оо, оо - оо, U ¦ оо, 1°°.

После изучения дифференциального исчисления мьт вернёмся к этому вопросу в гл. IV, где будут даны общие методы раскрытия неопределённостей, встречающиеся при нахождении пределов

1. Неопределённость вида 0/0, Рассмотрим несколько примеров, в которых встречаются неопределённости вида 0/0.

1, Найдем предел отношения двух М EiOгочленов

lUx)

А*)

lim

X—Пт

где Я„(а) = іїт*(а) — 0. Для этого необходимо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить общий множитель (а; — a), a затем искать получившийся предел.

Пример 1.

ї—*Я 2ї" — х — С

Решение, Разложив числитель н знаменатель нэ простые множи*

телн как квадратные трехчлены, получим;

Зх - 7х 4- 2 2х3

v Злг — 1

— hm

2х + з

lim

- lim

2

(• + !)(•- 2)

1 - COS X

Пример 2. Найти lim

t—1 — -cos X Решение. Испольауя формулу

= + Ь2),

и меем: 1 -

сое*

ІІш ,

,-,0 1 - cos х

- lim

1 — COS X

(1 — cos x) (1 4- COS a: + cosJ a)

1

3'

14- 1 +1

— lim ?

re

] + cos a; + cos

2. Нахождение пределов иррационального вираження.

Пример Найти lim + 2

і—й Vd™4 - v З.т Решение. Для нахождения предела устраним иррациональные

разности (замена иррациональными суммами) в числителе и знамена-теле;

]:Ш vk + 2 ~ v^ __ ]im V^+2 - vxT2 нн ч/2Ї „

Vbx - 4 - V^ \/5x - 4 - v/5.t ^ 4 Hh Узй

^H-a + AT -a a®- 4 \ґхТ2 + \/2д;

-„1 уЪ + лА) УЁ ~ ' 2 + 2 ~ <1 "

3. Нахождение пределов с использованием эквивалентных бесконечно малых,

а) Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Решение задач с помощью бесконечно малых основывается на следующей теореме.

Теорема 8. Предел отношения бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной бесконечно малой величиной,.

Для получения таблицы эквивалентных бесконечно малых будет использовано определение эквивалентных бесконечно малых (§ 14):

если н Й(аї) бесконечно малые при X О И lim = 1, то и 0{x) — эквивалентные бесконечно малые и записывается это так: ~ ${х) или = Дз?) при 0.

Рассмотрим несколько примеров, sin X

1, Так как lim -—- — 1, то кіш ~ х при х —* 0, (см. теорему 1).

X

2

X х

—1

2 2

* х

2. Из того,- что lim — lim

х—'О X х

tg х ~ х при д: —> 0,

Учитывая, что 1 — cos я = 2 fain , то при х -¦* 0, заменив sin получим I - coax ~ ^ MJ1ti cosa; ~ 1 - при х-* 0.

=5: X ¦ 1 = 1, получим:

sin аг

C0S3

3.

1-

arctg x ,.___ t

Г—>0 ~

-+0 f

0, а л: = tgt. lim

i-tCl

X

при x -» 0.

. н. пгсйіпл;

4н inn — = lim

X

образом, агсаіпл:

— lim — 1, отсюда aretes ^ x t-» ? tg t

ЗІЇ1 і

^ і при л;

= 1, где сделана замена t — arcsini. Таким 0.

5. При вычислении lim сделаем замену с* — I — t. Отсюда

а; = 1п(1 + tlp« ® —^ О, t—? 0 Тогда

= Л = і.

L

= lim

— lim

1

Km ——- = lim

Mln (t + i) + t) + lne

t

Слсдователь но:

а) - 1 ^ х или е* х при х —» 0;

б) из того, что lim

0.

і-іО In (і + t)

= 1 имеем 1п{1 + t) ~ t при t

Л&ПЖ

Учитывая, что а"

~ e^birt HbteeM; а1 — I хіна при х —і 0.

6. Если з формуле бинома Ньютона

(1+х)п = 1 +пх+п(п~1)х7+... +2" устремить х —» 0, то (1 + я)п 1 + пх.

вуї , д д

7 Сделав в примере lim —— m замену t = ^І + х — 1,

ї" З?

пуї , _ _ ^

получим х = (1 +t)m - 1 и при X —* 0 ? —* 0, Тогда lim m— — —

х —і (J X

~ Jim v - VTT^ - 1 ~ ? или ^ТТх =(1Ч-

(і + І)т - 1 m . m 1

4- x)i/Tn ~ 1 + — при ж 0>

m.

Итак, если 0:(х) есть бесконечная малая функция* то таблица эквивалентных бесконечно малых имеет вид (a = cv(x)):

2

sin а ъ tg а ~ arctg Qf ^ lti(l + q) ™ а} cos а 1 ——,

Jtr

аа ~ і+йіпл, {1-а)"1 ~ l + m*t

Of

m " In а Inn'

Эту таблицу бесконечно малых можно представить в виде

sin a = a + о(й)., tg о; » а + о(о:), axctg a - a-Н o(a)s

і

arcsintt = Qto(q), cos a — 1 - -a2 o(c2}( = 1 + a -{a° — 1 + alb a + o{a), ln(l + a) a + o(a), (l + a)n = l +na +o(«), VTTa = 1 + 1сї + о(й),

[no In a 4

Отметим, данная таблица бесконечно малых позволяет найти пределы в которых основную роль и греют бесконечно малые первого порядка малости. Для нахождения пределов в которых определяющую роль играют бесконечно малые более высокого порядка применяется таблица бесконечно малых, полученная с учётом формулы Тейлора и принеденэ в § 31

6) Нахождение п реле л он,

Пример 4, Найти:

,, ц.

x

Решение. Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых и теорему 6, получим:

5ІП ЗіГ

о -і

. { яілЗ;г \ /Зе \'

1) lim

х^о in (1 + 2х)

"ІЇЇ^MTT^yJ

1 - (2 - 0,5^)* _ I - i+OS^

2) lim -—_ lim i-+0 х *—іО

Пример 5. Найти:

1 і Ці

І -5-0

j) ІІШ ^ 2) ІІШЧ

з;3 ЗР-*1 і" - 1

- 1 „ .. - і (а -Ь1)* ; 3) lim —4) lim і-,

с\ і f,l—соаіГ і. In cos х -і хп • ап — па,1~ [ж - а)

5) Ііш 4 6) lim ——7) ІІШ — т^

tg л:-sin х s^u arcsim fx — a)

Решение.

1) Если a и f3 — эквивалентные бесконечно малые, то разность (а —/3) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем аир.

Действительно, lim ° — — = lim ^ — 1 = 1 — 1=0, а это значит, что

(л — /3) — бесконечно малая более высокого порядка, чем а и р (см. § 14). Поэтому прежде, чем воспользоваться таблицей эквивалентных бесконечно малых, преобразуем оьтражение, стоящее под знаком предела (так как tg х ~ xt sin л: ~ х, и tg х — sin х ~ х — х — 0):

tg it — sin X —?—

lim

х—«О

= lim It1-'t0-5ja)

я—"О

- од

lim 0,5 ¦ ^

T —< П gfi

(1+ і __ j і + mt - і _ m

л:т — 1

Si ^^Т = (1 + ?)*-! ~ So 1 +пї- Г ~ п *

1 + І- ljm HL

t—»D J + ?

тг

- 1

n

HI

гчУЇ — 1

- 1

3) Аналогично примеру 2, Ііт —7

m

Ч1 , (l + gbm-l-gln bf v (lnfr)

4) lim ^Ц V — hm V -т- = lim. J—w- ,

; i-*o a** _ і—о 1 4 л In a — 1 — з ln& in® ^

(1 — соет)2

5) lim

О-«j' = lim

Ї^О tg" з? — sin2 x e-0 (Lfis + ebi&)tgs(l - coss)

1 — cos л:

- lim

— lim

ї—*Q (tgx +sinar) n] (x + ас)гс 4

0"

2

In

6) Um = Ііщ

й—к)

I—'O (trtsiii X x

- nfl- Чя -

7) lim

a) { x — a~ t. \

Jx^T- ~ {r.^a + t j

ІЛ a/ a J

1) „^2

2

V A

= lim — t—Q r

nt . n(n - I)/,'

2л

1 + — + a

Пример 6, Найти;

1 -ft*

)n x — In a

In (2 + 1(ГЯ)

a

1) lim

; 3) lim

a:—« In ' і—0 tg2r 3ff-tQ і — (l

Решение.

T—

111 (2 + 10"*) _ in2 _ In 2 = 1 ln(8-J-5"") Hi8 ^ 3Ui2 _ 3

nv a1 — Ъх 1 -f x In a — 1 — x ]n Ь 1T a

lim -r—=— - lim ¦ -¦¦¦ = _ in

t-mO tg 2x 1-0 2x 2 b

In x — In a 1 . (+ a ,, , f. „ t\i , «-і

hm es hm - In — lim In f I 4— 1 ™ lnea = a 1.

t

a V aj

f —ft x — fl

Пример 7, Найти:

1) Цш *¦(«'-«'). 2) lim І;си"; 3) Um УГЛЕ - УГГД _

г-** a — X Z—0 111 COSffiE I-4J &rcsin3x

Решение.

t. Sin (л -a2) ¦ ¦ / , \ л

1) ІІШ ——і. t= hm = — hm(x +a)— -2a, так как при

J—ri rt — л: ї—а t-»a - a2 — есть бесконечно малая.

Неопределённые выражения

in

In со sax

2} Inn т— т — lim

*-*0 In cos ox ff-tO

3) ІІШ yr-to-yr-te -{!'**) _

атсвіпЗа; Зя

Пример 8, І їанти:

0 Ііш s''-lna.,-t. 2) lim 3^-27. г-ч) arctg нож

3) lim 4) Um ,

i-0 Jtln(l-l) I—

In (тат + Уі- Лаяа) Л- ¦ ¦¦ _ _ ,

5) !im ^-Ц / л 6) lim V1 + Bfeta* 1

\п(х+ /Ї - X2)

Решение,

.. „ — 1а созл? — 1 ,,

Ьш я = lim

arctg 2х

Um _ Um Г3-2? in з, j—3 SinTOT I—»0 — Bin ТІ ЇГ M] f IT

здесь сделана замена t- x — 3.

0

- 1

1 + Я2]П5+ gar- 1

WT

3

X

3) lim = Um = I

f Я-ІО ЗІп (1-х) x->0 -X2 2

4) lim= iim і U I 2 / -

і-а hi (l + x)

13, 2 '

l-^-i + te1 -- lini — - я

5) iim _ ]im = =

н:-»0 .13

1

2

x sin г

6) Bm

VTT

- hm

г-*о і + ха - 1

- 1

2. Неопределенность вида oc/oo. Раскрытие этой неопределённости производится, в основном, с использованием теоремы 5.

Ух3 -И + "1-М

Пример 9, Найти lim , І——

х-юо - е + 1 + 2т

Решение. Воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя, так как числитель и знаменатель данной дроби не имеют конечных пределов — они неограниченно уаеличидаются с ростом х. В таких случаях в каждом конкретном случае выносят соответствующую сте^ пень за знак корня: 1 1 X X / ф- 1 1 V X v

- x + l + lx = x ф - Дг + -4 + 2-х.

X

Теперь разделим числитель и знаменатель получившейся дроби на старшую положительную степень х:

+ I + {/Qj-* „.

Я1—-до

J—«

— х -f t + 2х

rs

Пример 10. Найти:

1) iim *!?+?.; 2) Um

г-i-c- + х *—»!»(* -Зі+ 5)

3) !im 4) to

In (i +

(ві - ' l + 2a + 3a + ... + п-

tv ,¦ 1 ^ 24-3 + + n ..

э) Inn tj——¦¦ ¦¦ : 6) Um

on

fr—TI 4 I и-*эа

7) Ііш I±f+B' + ...+(2«-»'

Зл3 - frr

Решение

smi

1) lim = і lim ~ *

+ 1

г—-*. 2x f со.ч x 2 j:-

у = Здесь учтено, что произ-

I +

2т

I

ведение бесконечно малой - на ограниченную функцию sin з или cos x есть бесконечно малая

. , 2 , , ,ч 31ая;-bin (1+ - + ]

.. 1п{аГ -Ьа; н- 1) „ V х хг )

2) hm —Ц—-- ¦¦ = ІІШ ———7~ ¦ Т —

™> Ь р - ЗЇ + 5) — 2Ьe + h Л | + ^

1 + ¦ In

= ' litn

юо

- 1;

L +

(J + 1+0-0

Шх \ я дГ/

+ ІД(І + Й -1

3)

7J, здесь учтено, что

0-Й

1л (а; +є') ІЦП >-в = ІІШ

2a: + lii

^ In (x -h t ) I_ted 9,

lim — 0; при A > 1 (CM. § 29),

4) иш fr-eftf-11* _ lim Al^v = Щп 4 = 1

lim

11

: і

(te)

x~*oa (Gtt-f-S)

+ n

1 + 2+3 + 5) hm ї

П-tQQ U + 1

1+2 + 3 + 7^ = їі(П + l)/2.

jff-4-АО 6

« lim "fo+i) — I Здесь учтено, что n-юо 2 (я + ij 2

lim 1 + Г+Г + -+"' = lim + = І Здесь

6) lim ' ' " V—= іїгп p ¦—і = .здесь уч-

n3 + Stt О {ті + Gu) з

те но, что 1г + 23 + З2 + . + us

_ n(n + l)(2n + J) 0

7) Ііш її—

Здесь учтено,

Зп* - 6п2

1 + 3а -f _5Я + ... + (2п- І)2 _ 1ііп Ь

п—«со 0Ц

что 1 + 32 +5г + ... + (2п-

Пример 12. Найти lim х (V^2 + 1 — л).

юо *

Решен не. Умножим и разделим заражение, стоящее под знаком предела, на «сопряжённое» выражение, стоящее в скобках, т. е. на

V^TT и воспользуемся формулой {у/а - Ь) {у/а -J- 6} = а — Ъ2.

+ 1 - Е) {/Х2 -f 1 -f х)

Іітп x ¦ї—¦ 00

Л/^ГТТ _ гЛ ^ lim л:^ 7 L -

[Vх ї-^оо s/x^ + i+x

X

= lim —

T—f + oo

Xl

1+ J "2

- lim

/ Г tf-r+W Г і

Гример ІЗ. Найти постоянные а и 6 из условия: i} lini 0; 2) lim \f{x)

Решение. I) Приведя к общему знаменателю под знаком предела,

JSSc ї+~ї

Предел этой дроби может быть равен нулю при условии, что числитель есть многочлен нулевой степени (см. теорему 5 § 15), Т-е. коэффициенты при х2 и х равны нулю. Тогда 1 — а = 0, а + і = 0 или а =

2) Предположим, что коэффициент а нам известен. Тогда имеем; lim \/{х) - ах - 6] — lim №) - ах] - lim Ь =

. J. ' 1«и±(я Т + лг. .

« lim [/(s) — asl — b = 0.

Отсюда получим:

Ъ = lim [f{x) — axj.

Для нахождения коэффициента а перепишем исходное выражение в виде:

= О.

lim f/U) ~ах-Ъ\= lim я [Я^ - а - ~

Так как х —* ±оо, а предел равен нулю, то выражение, стоящее в квадратных скобках, должно стремиться только к нулю. Тогда = lim [M_el X Hm

= 0,

X X

отсюда получим формулу для коэффициента а:

Нх)

а — Urn

Пример 14, Найти; О Jirn^ (^/(x + a) (x + Ь) -TV

Неопределённые выражения

3) lim х [In (х + 3) — In а:}; 4) lim п [ tyx -

Л —к со

РеШ Є кие

Иш (?<* + «)(* + Ь) - ,) ^ Jta * |(l + + f|)* - 1

Jim^ ( tyx* + \2x* - fyx* + :ix2 J JUn * + | ~ + ] =

= 3 - 1 - 2;

lim з:|]пО* + 3)-1паЛ = lim a; In (1 + -) = lim Ы (l + -V =

' x—too L Ї^ой V Z} S—*K> \ xj

= In = Зі

ton n2 ftyx - = Ит n fx* -ДГ^+ї } -

n—ИЭС1 ^ It^USC \ J

,. о /, In г , lni \ тг^іпа;

— In аг.

= bm n[ 1 + -—— 1 —- = bm

n—>DO \ ТІ П + I / Ті—-oc

>no n(n -ь 1)

4, Неопределенность вида 0 ¦ оо. Неопседеленность этого вида также можно привести к неопределённости О/О, оо/оо.

Действительно, неопределённость вида 0 ¦ оо возникает при рассмотрении предела lim f(x) ¦ tp[x}\ > когда lim f(x) — 0, a lim tp(x) =

і—m ' x—Kb ?—>a

'(я)

— оо. Б этом случае, переписав f(x) tp(x) = J;;\ или f(x) —

,x) * № =: , мы приходим к неолределён нести внда О/О, или оо/оо.

ч /І® J

=

lim ґт: — я] tgx = limtctgt = lim

0 tgt

Пример 15. Найти:

Прнмер 16. Найти:

Jim In (3 + 4х) - In (l

lim x2 (l - cos -V

ч X/

3} ІітлгЧє3-; 4) Іітя(уї-І).

X—І йо

Решенне.

ТІ—юс

йт Ш(3 + 4«) .щ(і + І) = fim [іп4* + In (і + • \ =

-Jta [*І»4 + ?]2-71»4;

Jim х2 (і — cos - ) - Ііш х2 • -^х — тії г-ж V х J '2х 2

3) lim х'1 tg~ — = lim = 4;

І—» -as

і—» о?

4) lim її { Ух - 1) lim п (хІ - і ) -

ТІ ' і DO 4 ' ІІ-»ОЬ V /

— lim п(і + - ітхаг- І ] = hi аг.

п—юс \ П /

5, Раскрытие неопределенности Раскрытие неопределённо

сти этого йкдэ связано с нахождением предела

Ф - lim ,

І"1-!

при нахождении которого следует иметь в виду:

L Если существуют конечные пределы lim f(xJ = Л, lim ^(а;) = В,

х~щ х—*а

А и В не равны одновременно нулю, то Ф = Ав.

2. Если lim f(x) — А, А фО, А ф 1, a lim Ых) ™ ±оо, то вопрос

і—й і^а

- Ц Ч. {

о нахождении предела решается непосредственно, г.е

если lim ^(я) ОСі то Ф если lim - —оо, то Ф - |

О при 0 < А < 1,

— wi їм — \

¦J ІІ

ос при А > 1; оо при 0 < А < I, О при А > 1.

3. Если Jim f(x) = t, lim ^-(х} = ±ao, то при нахождении предела можно поступать следующим образом. Так как Ijm f(x) = I, то по теореме 1 имеем: f{x) - 1 -г , где а{х) — бесконечно малая при

х

а, тогда;

« = liro(l = lim f(l = Иш [(l+olil--^"

Пример 17. Найти: lim >о

I—»о \ х J

Решение. Так как Ііш = а fo j. л — j TQ

к * jr-tO4 3

/sin ад; r

lim f ) — aJ = a.

x-M \ z J

Пример 18. Найти lim (1L+LY,

t—*±OQ — J /

«4-і

я? -і- 1

—г- .. . — hm

r—»±CX5 ІХ — І Г-»ІОО

— TO

I 2'

Решение. Так как lim -

2 -- —

x

0, ar —> 4-oo;

со, j; —oc.

lirri ( 1 Y = /

1->±оо \2x - ]) I

Пример 19. Найти

I) lim (Зя-2) lim(l + tg2 уї

i~t2 Л—т0

Решение.

I) Так как Іїпі (Згг - 5) = 1, a

X"^ <

—do, ar —> 2 — 0, -f-QO, д; —> 2 ~r 0 І

Um —-—

T — 2 л — 2

TO

, Imilim z lim 3s 6

hm (За: — 5)*~2 = я я = = є*—4 = с ,

г—

2) Учитывая, что д? —+ 0 tgct(a;) ^ получим;

lim(l НЬ tg2 - Um -+- — Д — v^,

я—fG

так как Шп{1 -f mx)k^x — e"1*.

Б заключение этого параграфа рассмотрим два примера: найти

Л —DQ

1) lim аш7ri/l + ft2; 2) lim sm2{iry/n* + n). и-*» " —

Решение.

, ! ч

1) lim sin 7г VI -I- n2 =¦ lim sin птг г 1 -|—=» n-*oo it—во V n /

— lim. sin піт fl H- -Лті ™ Jim sin (nn + =

\ 2n" / П—>co ^ 2п/

lim (-І)71 am — 0.

= lim

fl—*DO

7Ґ 1Г

П —> CO

Sltl 7ЇТГ COS + COS П7Г sin — 181

2} lim sin3 (жл/п2 + п) = lim sin'

7І.—<оо п—к»

srra [1 + тг-11 = Іітсом^тгтг — \ 2nJ] п-'оо

= lim {-lfn = 1.