§ 29. Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункциях
Доказательство Так как Да?) непрерывна ЦЙ отрезке [а,Ь|, то на этом отрезке она достигает наибольшего значении М и наименьшего значения m (см. § 16), Могут представиться два случая: М — т н М Ф Ф m (М > тп). Если М — in, то функция у — f(x) сохраняет постоянное значение, так как неравенство m < /(») ^ И в этом случае даёт f(x) — m — М при всех X, поэтому /'(х) = 0 а лзобон точке отрезка. Теорема доказана.
Пусть теперь М ф тії, тогда по крайней мере одно из этих чисел не равно нулю, так как /(а) = f(b) —0. Предположим для определённости, что М > 0 и функция принимает своё наибольшее значение при х = С, т, е. f(C) — М. Так как f(C) — наибольшее значение, то Ау — - f{C + Ах) — f(C) < 0 кап при Ах < 0, так и при Ах > 0, Тогда
> С при Ах < 0. а при Ах > 0 ™ ^ D. Учитывая, что по условию
теоремы производная прн х =¦ С существует, то /'(С) ^ 0 при Дд; > 0 и f'{C) ^ 0 при Да; < 0, Решение втих неравенств даёт f'{C) = 0. Знак производной не должен зависеть от того, как Дат —> 0, Следовательно, внутри отрезка [a, &] имеется точка С, в которой производная /'(х) равна кулю. Теорема доказана.
Замечание /. Доказанная теорема остаётся справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка принимает равные значения, не равные нулю.
Замечание 2, На геометрическом языке теорема Рояля означает следующее: если крайние ординаты кривой у — f(x) равны, то на кривой найдётся точка, где касательная параллельна оси Ох.
Примеры.
1.
Проверить справедливость теоремы Ролл я для функции у — = /(*}-(»- 1)(®-2)(«-3).Решение. Функция дифференцируема на отрезке [1,3] и обращается в нуль в точках ас = 1, х= 2, х = 3 этого отрезка. Следовательно, на отрезках [1,2] и [2,3) для функции f(x) выполнены все условия теоремы Ролля. Существует по меньшей мере две точки интервала (1,3), в которых /'(ас) = 0. Дифференцируя /(а;) н приравнивая нулю сё производную, получим квадратное уравнение Зх2 — 12л; + 11 — 0, решая которое, находим упомянутые точки:
Сі - 2 - -Li С2 = 2 + -L причём 1 < (?! < 2, 2 < <7а < 3. v3 v3
2. Функция f(x) = 1 — № обращается в нуль при л;і = ~1 и Х2 = = 1, но тем не менее /'(я) / 0 при -1 ^ а; ^ 1; объяснить кажущееся противоречие с теоремой Рол ля.
Решение. Противоречия с теоремой кет, так как не выполнено одно из требований этой теоремы: функция f{x) на имеет производной при 1-0. Действительно:
Ау .. -1
— —— — 1,m ~ І"00'
" ііш
Дн- О і/Д.т
= —ос.
lira —^ ~ її пі
ІЇ-.-0 ОТ f-0
І.
Нш
Теорема И, (Теорема Л игран жа — теорема о конечных приращениях). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ /О») -/00-Г(О) <*-«). ; Доказательство. Рассмотрим на отрезке [а, о) вспомогательную функцию F(x) — f(x) — f(a) - -~ (х -а). Эта функция на [а, й] удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля, тогда ИЛИ m-f{a) = f{C)(b-a). р\с) = пс) - т~ /(а) = о О — (1 Теорема доказака. Замечание /. Мы получили теорему Л а гра нж а как следствие теоремы Ролля, однако сама теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа (при f{a) f(b) имеем f'(C) — 0). Замечание 2. Если производная функция равна нулю на некотором интервале (а, 6), то функция постоянна на этом интервале (а, Ь). Действительно, возьмём произвольное значение х из интервала (а, Ь) и по теореме Лагранжэ на интервале (а,а:) имеем f(x) — /(а) — = f'(C)(x — а), а < С < х, но так как f'(C) = 0 по условию, то f{x) — — /(а) = 0, f(x) = /(«) и, следовательно, функция постоянна. Замечание 3. Теорема 12, (Теорема Коши), Если каждая из двух функций f{iv) и непрерывна на отрезке [а,Ь] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, причём tp' нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри этого отрезка найдется точка С такая, что № - №) = Ґ(С) Ч>(Ь)-ір{а) p'icy Доказательство. Отметим, что - ф 0. Действительно, если бы это было не так, то для были бы выполнены условия теоремы Ролля, и тогда внутри отрезка |й,Ь] нашлась бы такая точка л; С\ что (С) — 0. а это противоречит условию теоремы. Итак, ^(а) ф ^(Ь), и мы имеем право рассмотреть вспомогательную функцию, которая удовлетворяет условию теоремы Рол л я на отрезке [а, Ь]: =Дх) - т - т^ш Мх) _ <р(а)]. Тогда найдется внутри отрезка точка С такая, что F'(C) ~ 0. но п * Я''}-Да} f'(C) „ Откуда имеем — , ' = J А . Теорема доказана, <р(Ь)~<р(а) <р (С) Замечание, Если v'te) = е, го теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, Теорема ІЗ. (Теорема Лопиталя)ч Пусть функция f(x) и tf(x) на отрезке [а, Ь] удовлетворяет условиям теоремы Коши и /(а) = = О. Тогда, если существует предел отношения f'(x)fo'(x) при х а, то существует И ІІІГІ Д-Т, І—Щ L^l-. xj * lim 44 - lim Ш. зї-tfi ^p(i) x^a tp'(x) Доказательство. По теореме Коши имеем = А^т, Ff ті ff (Ґ~*\ X а, a < О < x, но так как f(a) = ф(а) - Qf то = '{су Если то С -KI, тогда ґм f\C) lim lim lim т = Urn Ґіа] Теорема доказана. Замечание L Теорема справедлива и в том случве, если функции f(x) и не определены лри х = но Hm f(x) — Ііш tp(x) — О ж—а?—ЧЇ- или lim f(x) ~ lim ^(х) = оо. П-) ш lim ';, и так далее, г—a ip (a;) Замечание 2. Если f'{o) — <р'(а) — Он производные f'(x) н удовлетворяют тем же условиям, то lim і —а ^(л) Раскрытие неопределённостей. 1, Раскрытие неопределённостей вида 0/0. ,, т е1 — — 2х In a;— In а 1) bin ; ; 2) lim — ¦—; 3-+Q ї - Sin ї x ~ a Решение. I) Трижды последовательно применяя правило Лолита- лят получим е* - Й-1" lim 2 л .. -2 .. — lim —; = Um —г"— 'X — SHia; x-tQ 1 — аг %—Q sini » Um t±?L = 2. x^0 cos я; 2) Dm = lim - X'—ЬП ,1 — (1 I—»Q X (I 3) Lim « lim (ft* In a - ахл~1) = a* (In a - 1). x—ш x — т.—>a 4. lim {l+x)* - lira 4- (1 + ш)і = s—0 x dx ¦ 1 - In (1 + аг) - 1 2x + Зі2 it /1 , JF- fl + *)ln(l +«) T- = ЦП1 (1 + а: • J- =1 є ІІШ a—Q x (1 +- x). x-*Q і e 2' їіїо (2 + 6г)(1 + а;) r In (1 + X) — — с Jim ———k — - 2x + ЭлГ Применение правила Лопиталя быяает полезно комбинировать с другими методами и преобразованиями, облегчающими разыскание предела. Пример 2. Найти 1Ч tgat-ein® ,, tgx — tgo .. xn I) Jim — * ; 21 bin — —; 3) lim . т.—ti sin x lc-*a x — a x—*o m сов x Решение. I. Следуя правилу Лопиталя, ищем предел отношения Ґ 1 } ГЛн'^ і] — CQ^ Jf производных, т.е. і-? к—і Здесь числитель и знаменатель Заіп х cos х бесконечно малы, но искать предел отношения вторых производных нецелесообразно. Лучше преобразовать отношение первых производных к виду к— — сое а; cos х 1 о 3 Заігґгссойя: 3 sin яооа ? и. заметив, что lim 1 — cos ЕЕ _ (1 — eosrc)(I + cos я + cos3 re) 1 + cosi + coi2 х 3 sin'*® х cos3 яг 1 cos ? Зсоз'л , gill х „ =: Можно с самого 2 БШ X COS X 2 =s 1, искать lim-——• По пра- вилу Лопиталя этот предел равен lim начала заменить аіп^т эквивалентной бесконечно малой тогда 1 — COStf tgae — smi ч. tga; — sin^j ,. 1—eos г km — =¦ — lim — < — am —,—g— = lim x—'0 sin. X »0 x 0 З*1 СОЄ I t—0 S111JS 2' - lim я-tQ 2x 22 І 1 oo*2 a tg x - igd a; — a , — Ііш т—.0 In cOS.r ї-^tJ — tga: X 1 ^ lim X О COfi X jwl nx — — lim nxn 2 = lim lira О, n > 2; -2, n ¦ 2: —oo: n — 1 (ft. 4) tint + Q *-»oo In (з; + it' ) 2 Неопределённость вида оо/оо. Пример 3, Найти 1Л п si; у Ineinte ,. i-rJO 1) їли I) Ііш -—-—г ; 3J lim -T5—т^; Ї —ЭО X Т—'С In SIllQJ J-* их прон годных равно —у и при х —+ оо равно нулю. К этому же 1п.х Ьж X /х 1 пределу стремится —, lim —т- = lim -г— - lim —~ т/ х х-их> 2х jr—ос 2х і- In вІпімс &ctgbz btRfia; baa: ^ 2) hm -—: = lim —7s— = hm - - . = \m -г— = Ї. HJ hi sinox j^oactgao; x^oatgbx лїкг 3 > = 2J In 2 + 31 hi 3 = a 4) a < 1, Іг 2' t, 1п(г" + ай) „ In і™ тііпх я—оо in [p?™ + a > 1, loo lim ¦¦¦ —^JT = lim r—^ = hm 2» In х ) «-wtnr3* а1 In а 1 2 'Mi і 'Аг x 4- a lim + a* їті-1 + 2а*х ІІІ а ІП (1 =¦ lim 2а a > оо • со 2пя Здесь учтено, что при п > Он а > 1. т > 0. 0. Ит — s-'oo а Пример 4. Найти lim -—~ п -. i-tw iH- sin аг Решение. Числитель и знаменатель бесконечно большие, Прн- х sin л? * 1 -— COfi ДГ меняя празило Лопнталя, получим: lim г~ — lim ¦— " ¦—, но jc—"ос х -Ьзіпа; я—1 + cos л: яри гп —* оо последнее соотношение предела не имеет, так как созд: х 1— sin X колеблется между (+1) и (-1), Однако отношение - - -, ¦ при х ™+ я РІП,г х Н- Slna: 1 — 1/ї ¦ ыпх оо оо имеет предел, так как - ¦ ¦ ¦¦ ¦¦¦. И при X I + (l/і) -ша; х стремится к единице (здесь учтено, что произведение бесконечно малой l/і на ограниченную |зтд| ^ I есть бесконечно малая). Правило Лопиталя не приводит к желаемому результату, так как не выполнено условие теоремы Лопиталя, т, е. предел отношения производных должен существовать. 3> Неопределённость вида 0 - оо. 'в іС--Ш Пусть имеем lim /(ат) ¦ Если исходное выражение переписать н виде f(x): -г^-, то при х —у а получим неопределенность вида 0/0, или оо/оо. Пример б. Найти Ііп^ х ¦ In х. Р е ш е If и е. ж — — Иш х — 0, г—і-О lim х lnx = liin ^ — lim , х —^ о Ї—*0 ^ і—1*0 - X X Замечание, При вычислении пределов, связанных с логарифмической функцией, следует помнить, что а > 1 Ііш х — —оо, lira xTl loga х = 0, lim log. х = оо. аг—fO+O г—Э+O ш-юо 0 < а < 1 lim log. г — оо, lim хп log„ х = 0, Ііш Iogfl я = — оо. х —tO-fO і—10+0 ас—к» 4. Неопределённость видя ос — оо. Неопределённость этого вида алгебраическими преобразованиями сводится к неопределённости вида 0/0 или ос/оо. Пример 6, Найти 1) lim (-- -sJ—\ 2) lim iy/z + х - 1 - ^Jx2 - х -М) . Решение. 1) Приводим дроби к общему знамс]іателЕО: Є* - S - 1 lim і — s——* lira c . —Vі = lim HO fi — I 4- яе1 -*Q\X с — I / x^Q - L) x— 1 2 = ІІш —j ? ї i-ro ? +{ ¦(¦ are lim ^ + ^ + + D Иш 1 + x + і + ^ -{ 1 при x — 1 при a: +CO, —оо. 5. Неопределенности вида С0, oo°t І™, 0Ж. Каждая из этих неопределённостей имеет вид у — /V, где при і —> ct функция /(х) стремится к Qt оо или 1, а функция <р(х) стремится со- ответственно к О, 0Т оо. Логарифмируя у — /V получим (считай / > 0): In у = <р Ь/. Найдя lim Inj/, легко получить Ііш у, I—*Й і— Пример 7, Найти [} lim{sina;)Bjni; 2) lim f-Y^; 3) lim VTJte; Г—>0 \xj v—tO 4) lim(arcsina:)1^1"i; 5) lim (1 + 6) lim {cos x)lt ґ—0 1-м- —do In аіпз; Решение. 1) Пусть у як (emx)™*1* тогда lim In у — lim к—>0 sir; г, - lim sinx = 0, откуда lim у = c° ~ 1. ai—10 is—iQ * sin a: — 0j тогда lim у = ? = ]. 2) lim Іпу —- - lim = lim ^^ ^-«{JCtgX i—o x 3) Пусть у ~ \fl + 2xt тогда limine = lim - In(1 + 2a:) = ї—*0 ;t--tt x — lim , _ = 2, отсюда находим lim у = є2. ї—•[} 1 *t- 4Х ї^о — 1. тогда lim у — ST 4) lim - lim ^^ = lim — lim (arcana:)1/ІТ1И — e. я—»0 1д(1 + <Гх) _ 5) lim In у я;—>¦—W lim — -- 0, следователь- lim -co но Km (1 + =1. x—w = .щЩ^Ї _ 2я 6) lim lVk у ==: Um -n CQS x, Ї-^О X—fQ ArCtgLC lim [cos x)^ 13 = e" V2 r Пример 8, Найти і) шіі 2) lim (-^-Т: 3) lim (-^-Y; к-tO \ x / \srna;/ i^o ^arctgary 4\ lim ( * 5) lim (-aretgsf; 6) lim (10е-зсla 10)^ ДГ-+0 Varcslna;/ ' s^cc \w / s—ft Решение. 1) Полагая у — ^""г)* і получим 1 — соя 2х а хл sin 2х 2х sin 2х + 2х2 cos 2л; 1 1 tax sin 2rr lim in?; = Um —^ !n — lim —тИ — lim - lim x-*Q 4х - соа 2а; sin 2х ас—т-*о x x ґ Следовательно, lim у — e^. ї—*D Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников lbitt 224 Дифференциальное исчисление функций одной переменной [Гл. IV Примеры 2), 3), 4} решаются аналогично. В результате получим 1 lim f-r—I - eG; lim |—-— аг—to \зті/ х—*о I arctg x „і = G « . lim f—- uc—to \arcsin X/ {2 V 2 5) Пусть [-arctg я] , тогда lim \xiy — lim xIn — arctgx = \JT / I-"® X ion 7Г X — — Um 2 .. = —t отсюда lim у — e 7Г x—*oo x-too {l + X ) arclgs 6) у ™ (1G1 — a; In 10)^ t 1 ID* In 10-In 10 lim In у = lim Л Ы(ЮХ -zlnlQ) = lim ' V" Y , ^ = *-K> y v J в-М) -ЗІП 10) 10=ln 10 = lim 2(1 -Ь a; In 10)10T — 4x in 10 тогда lim у = _ In110 _ In 10 Пример 9» Найти 0 + 1) limte1 + as)«; 2) lim x-fO^ * X —0 Решение. тогда I) lim lay = lim [e = lim = 2, я—tO a:—f0 X + e lim(e* + x)* = e2, x— і * і = e~ 1. lim x—»0 В заключении этого параграфа приведём некоторые часто ветре* чающиеся пределы, которые легко вычисляются с помощью правила Лопиталя. .. хп .. в" I. Пусть a > 1, lim -е- = 0V lim ~ = оо, Ііш ^ = оо, оо а х—4-—so а в—юо г lim ^т = 0, 1,2>S,.„ —оо X Формула Тейлора 2, Пусть 0 < а < 1 lim ~ = оо, lim С = К™ ^ = 0. It—й —- - -- — X —do а. а lim - оо, причем, при вычислении этих пределов необходимо Ї-'^ім Д." учитывать, что если а > 1, то lim их — ОО, lim ах =0; я!—i-oo если 0 < а < 1, то lim а* ^ О, lim аг ~ оо. >м j: —t — со