§ 4. МАТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИИ БАЛАНСА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАТРАТ ПРОДУКЦИИ
| апХу | &х2Х . | . аХпХп | Ух | |
| си2ХХ1 | #22^2 * | • а2 п^п | У2 | |
| ащХі | ап2Х2 . | • аппХп | Уп | |
| V | VJ | • | ||
| м | іщ | щ | тп | |
| х2 .. |
Взглянув на эту таблицу — или же просто на уравнения,— нетрудно убедиться, что систему уравнений распределения продукции (2.19) можно записать в матричной форме:
х = Ах+д, (2.21)
где А — матрица коэффициентов затрат средств производства, х—вектор валовых продуктов, у — вектор конечных продуктов, то есть:
| "-яг | ||||||
| аІҐ | а\2 • • | • л, я | х2 | у2 | ||
| <*>2\ | а22 .. | • <hn | » = | • | ||
| &п\ | ап2 •• | • <*пп _ | - Уп- |
Решая матричное уравнение (2.21), получим: х — Ах = у>
х = (/-АГ1у, что можно также записать в виде
х=74гаУ- (2.22)
Здесь / есть единичная матрица, а матрица
| "1 | 0 .. | .. (Г | ап а12 . | |||||
| А = | 0 | 1 .. | .. 0 | — | #21 1 #22 ' | • • <hn | == | |
| _0 | 0 .. | - Д/12 • | • • Я/і/і - | |||||
| "І — ап | — #1/1 | |||||||
| = | — а21 1 | #22 • | — #2я | |||||
| - — Ялі | — #«2 • • | .. 1 | — апп _ |
в теории межотраслевого баланса носит название матрицы Леонтьева. .
Уравнение (2.22) также имеет вид, соответствующий основной формуле теории регулирования; его можно интерпретировать как операторное уравнение, где вектор у есть состояние входа, а вектор х — состояние выхода. Преобразование заключается здесь в умножении на матрицу (это является своего рода обобщением пропорционального преобразования), а символ матрицы А может рассматриваться как оператор этого преобразования. Поэтому многоотраслевую кибернетическую схему теории воспроизводства можно представить так, как она изображена на рис. 33, где
)
оператор / обозначает умножение на единичную матрицу /, а оператор А обозначает умножение на матрицу коэффициентов затрат средств производства.
Подобное же кибернетическое истолкование можно дать уравнениям баланса затрат продукции (2.16). Их матричная форма такова:
л: = Ах + (v + т), (2.23)
где х, v и т — соответствующие векторы, а А' — транспонированная матрица А.
Решая матричное уравнение (2.23), получим
(/ — А') X = V -(- 171
и
х = (1 — А')-г (v + m)9 что можно записать также в следующем виде:
л: = ~/~~дг (*> + т\ (2.24>
Решение уравнений баланса затрат подобно решению уравнений баланса распределения продукции. В формуле (2.24) состоянию входа соответствуют затраты живого труда, заданные в виде вектора v+m, а матрица Леонтьева в формуле (2.24) транспонирована, ибо, как нетрудно убедиться, /— Л'=(/— А)'. Ёлочная кибернетическая схема, соответствующая формуле (2.24), представлена на рис. 34.