§ 6. Линии второго порядка; окружность, эллипс,гипербола, парабола

имеет вид: 0 л _

Ах2 ± Вху + Су2 + Dx + Ey + F = 0, (1}

где по крайней мере один из коэффициентов А, В, С не равен нулю.

Рассмотрим некоторые кривые второго порядка, которые можно описать уравнением (1) лри различных значениях коэффициентов А, В, Су D, Е, Р.

Ниже будут получены уравнения линий второго порядка — окружности, эллипса, гиперболы, параболы, причем при выводе уравнений будет предполагаться, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат.

1.

Окружностью с-центром в точке Mo(:ro>!to) и радиусом R называется геометрическое место точек ПЛОСКОСТИ, ОТСТОЯЩИХ ОТ Afo(®OjJto) на расстоянии Из определения окружности имеем |AfoM| = R, где — произвольная точка окружности. Определяя \МъМ\ как расстояние тежду двумя толам и A3 А ЛШ имеем (см, рис. 15):

83

В5

У

S*

і Atf0 J

X

Рис. 15

Возводя обе части п квадрат, получим уравнение окружности:

<2)

(х - Xof + 0/ - Уо)2 = R2\

ко, уо есть коордииаты центра, ft — радиус окружности, я, у — координаты произвольной (текущей) точки окружности, Если начало координат выбрано в центре окружности, то = — 0 и уравнение (2) принимает более простой вид:

х2 + у2 = Я2, (3)

Раскрывая скобки в уравнении (2), перепишем его в виде х2 чЬ у2 - 2х0х - 2ад + (xf} -h t/q — = 0.

Это уравнение второй степени. Следовательно, окружность есть линия второго порядка, так как представляется уравнением второй степени. Однако уравнение второй степени представляет окружность далеко не всегда. Для этого необходимо, чтобы в нём не было члена с произведением ху (В = 0 в уравнении (1)} и коэффициенты при х2 и у1 были равны (JI — C), ЭТИ условия необходимы, по недостаточны.

и-ь.^-ь+ф-ф'-е-і)1-*

у2 + 2у - у2 + 2у + 1 - 1 « (у + I)2 - 1.

S"1

Тогда:

1 =

+ + -1 « (я - + 1):

у/Ї7

или (я-3/2)= + (у +

окружность с центром в точке

М (1,5; —1) и радиусом Дл уУ0/2, Аналогично для другого урав-

нения = = (*" 1)»-1; -І)2 + у* = -

но сумма квадратов действительных чисел не монет равняться отрицательному числу, поэтому нет ни одной точки плоскости, координаты которой удовлетворяли бы данному уравнению. Значит это ураннейие не представляет никакой линии, ни даже точки.

Из уравнения (2) легко по/учить:

Уі,2 ± ~ у Х1,2 = ZQ =t yffp - (у - Уої

(см. рис. 16). ШҐ л МІ Г V

У

о

О

У

У

о

дг

о

Рис. 16

Если начало координат находится в центре окружности хо ~ уо = 0. а уравнение окружности есть я2 + у2 = R\ отсюда =¦ ±\/Я2 — ж® , a xit<2 — - j/2 (см. рис, І7).

Задача 23, Найти уравнение окружности, центр которой лежит в точке Д(4, 7) и которая касается прямой За: — 4у + 1 = 0,

Решение, Длина радиуса окружности равна расстоянию от точки А до прямой Зх — 4у + 1 = 0. Находим это расстояние анало- гичио тому, как это сделано в задаче 4: |(—3/5) - 4(4/5) - 7 — — fl/5)| = 3 — Л. Тогда искомое уравнение окружности есть (х — 4)а +

+ о м }

У

У"

О

6

О

Рис. 17

Задача 24, Найти касательные к окружности х2 + у2 = 13, параллельные прямой Ах 4- §у — 5 — 0.

Решение. Уравнение касательной к окружности а точке A(a;t,yt) имеет вид у — уі = kt(x — ltl), где координаты zj и yi удовлетворяют уравнению х2 + y f = 13. Угловой коэффициент fci находится из условия параллельности касательной и прямой 4дг + 6у - 5 = О: А:; = — А/В =

—4/6 = "2/3.

Чтойы найти координаты точки касания, проведём прямую через центр окружности (качало координат) и точку касания.

Задача 25 Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки Mi (—1,1) вдвое меньше расстояния до точки Ма(-4, 4).

Решение. Точка М{х^у) будет принадлежать искомой кривой в том и только в том случае, когда \ММ2\ = 2\ММ:\ или

Возводя в квадрат обе части этого соотношения, получим х2 + -h + 16 4- у2 - &у 4 1G = 4(z2 + 2т + 1 4 у2 - 2у 4 1), или я2 -Ь у2 = 8 - это и есть искомое уравнение кривой, являющейся окружностью.

2- Эллипс. Эллипсов казьшается геометрическое иесто точен плоскости, для которые сукмз расстояЕГИЧ от двух ({шксироланных точек Fi и F-i этой плоскости, называемых фокусами, есть постоянная велмчянд. Требуется, чтобы эта постол ниай бьша болы не расстояния между фокусами. Обозначим расстояние между фокусами через 2с, т.е. |Л F$\—2 с {сн рис, ! 8).

Для вывода канонического уравнения эллипса поместим начало координат и середину отрезка F\Fi и ось Ох направить по прямой F1F2. Тогда точки F\ м F2 в аыбранной системе координат имеют соответственно координата (с, 0) и с,0). Пусть — произвольная точка эллипса. Из onределения 'и\л\\пса следует [Mf\\ |Л/ґ2| 2а или yj(х - с}2 -ь у2 h у/{х + + у2 - 2а, где ч&рез 2а обозначили постоянную. ? которой го&оритсн ч определении эллипса. Таким абра- зомп произвольная точка Л/(х,зг) будет находиться на эллипсе а точ случае, когда ее координаты будут удовлетворять уравнению

уДх ^С)^+ V^+Ж+І5 2а. Это и есть уравнение эллипса ч выбранной системе координат.

Теперь получки так называемое канонические уравнение эллипса Для атого освободимся от радикалов. Уедикт один из радикалов;

у/(х~с)2Tj? = 2а - У^Тд^+уї.

Возаедём в киадрат абе части. Получим:

j:2 - 2xq + с3 + Г = Ла2 - 4а - + х2 + 2«i+ С*4 у%

или ^ ау/{х 4- с}3 -f- у1„ отсюда:

г2 = \MF?\ « ЇДГ+сУ^ГЇ/Ї sai-i,

rL = \MFi \ - 2a

a

Возводя сиоод э квадрат, получим;

cV + 2 cxq2 + в* = a2(x2 + 2tr + с2 + у

н*к тол к2- дляОЗНаКОмЛения¦ PDF-версия с 88 я MirKnig.com

Гак как с < я, то {а2 — с'*) — величина положительная, её принято обозначать через Ь~\ тогда Ь2х2 — а?у2 — а2\Р и окончательно получаем уравнение

(4>

Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Точки Аі, В і, А2, называются вершинами эллипса» а оси симметрии Ох и Оу — главными осями {\AIA2\ = 2а — большая ось, l-Bjf^l = 2b — малая ось), центр симметрии О — центром эллипса.

Из уравнения (4) имеем — ±^л/а2 -х2 , xi^ = ±^— j/2 .

Расположение и а; 1,3 см. о п, 1.

Задача 25. Найти длину ссен, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса х2 + 4у2 — 16.

т3 и*

Решение. Ззлишем каноническое уравнение эллипса: -у + =¦ ~ 1- Отсюда 2а = 2 4 = ft, 2& = 2 ¦ 2, тогда = а2 - Ь2 = 12. Координаты фокусов: Ft (2^/3 t0). (-2\/3 ,0); є = ^ = ,

Задача 27. Известно, что прямая 2т — 5у — 30 = 0 касается

эллипса —- + 4— =1. Найти координаты точки касания.

75 2А- і з

X

Решение. Совместное решение двух уравнений — -J- = 1 и = 2

-х- 6 даёт її = 5, — Точка касания есть JVf(5. —4). о

Задача 28. Определить траекторию точки Мг которая при споем движении остаётся втрое ближе к точке А(1,0), чем к прямой х = 9, Решение. Согласно условию задачи 3|АМ\ — \M\fi\. где \АМ\ - I}2 + у1, jММ]| = д/{9 -я)2, Mi — точка пересечения пер- пеидикуляра, опущенного из точки М на прямую х — 9. Тогда

3 ¦ VCs- 1 )2 + у2 = /(S-a:)2. Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим уравнение эллипса Sx3 -b 9у2 ~ 72 или + — 1, « = З, & = 2л/2,

V о

З, Гипербола» Гиперболой казьшаетск геометрическое место точек плоскости» для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированные точек Fi и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина полоянна) (обозньчнм её через 2а),

Требуется, чтобы эта постоянная величина была меньше расстояния между фокусами. Обозначим расстояние между фокусами через 2с, т, е.

Fa | = 2с (2с > 2а, с > а) и введём систему координат так чтобы начало координат находилось н середине отрезки FjF^ и ось Ох была направлена по прямой Fii'V Тогда точки F\ и Fi в выбранной системе координат имеют соответственно координаты (с,0) и (-с, 0).

у/(х + с)2 + f - ^/(х-с)Чу2 = ±2*

Таким образом, произвольная точка будет удовлетворять урав

нению

у/{х + с)я + уа - у/{х - с)2 + уз = ±2а.

Это и єсть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Для получения канонического уравнения гиперболы уединим один из радикалов: ^(х + с)2 + у2 = ^(я - с)2 і 2а. Возведя обе части в квадрат, получим:

х2 + + с2 + у3 = зтг - Эхе + с2 + + + 4а2

или хс — о? = dbay/(a: - с)2 -Ну2, отсюда (см.рис. 19)

Г1 - ад - (f -о) ,

Так как с > а, го (с3 — а2) — величина положительная, её принято обозначать через tr; тогда Ь2х2 - а2у2 = S-f-L »

Уравнение (5) называется каноинческим уравнением гиперболь]. Гипербола, заданная уравнением (5), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Ох в точках Аі(а,0) и Л^-а.О) и не пересекает ось Оу. Тачки А\ и называются вершинами гиперболы. Отрезок АіАч называется действительной осью гиперболы, а отрезок В2Ві (см. рис.) называется мнимой осью, Длины а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Расстояние произвольной точки гиперболы до фокусов гі — \МР\ и 1*2 — называются фокальными радиусами точки М. Число с/а = е, е > 1 (с = у/а1 + b'2) называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые у = ™ ±(Ь/а) ¦ х являются асимптотами (см. §38). Гипербола, у которой а = Ь, называется о авн о сторон ней, её уравнение х2 — у2 =*=¦ аЯ Уравнения э j й 3

— - V- 1 и * ^ - 1

определяют две гиперболы, которые называются сопряжёнными. Гипербола, описываемая уравнением

на рисунке обозначена пунктиром.

Задача 29. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат. Кроме того, заданы уравнения асимптоту = расстояние между фокусами 2с- 20.

Решение. Так как уравнения асимптот имеют вид:

¦ b

то b = Akt а = Зк> к > 0.

Iі и3

Уравнение гиперболы имеет вид: — — =1.

2 2

сс и

Задача ЗОг Дан эллипс ^ + =¦ Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — о вершинах данного эллипса.

Решение. Из условия задачи имеем аг = са, с^ ай, аэ — \/8, Ь3 = = V5 , поэтому уд - Я = v3, Ьг № УМ- -Є = ИЯ . Уравнение

искомой гиперболы имеет вид:

3 5

4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой.

Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до фиксированной прямой — буквой р и называется параметром параболы. Дли вывода каноЕінческого уравнения параболы выберем начало координат Б середине отрезка, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на фиксированную прямую, а оси Ох н Оу на-правим так, как указано на рисунке. Для произвольной точки М(я,у), лежащей на параболе, яз определения параболы имеем JfM| = |МА\,

или Р 2 V F X

Рис. 20

Таким образом, произвольная точка М(х>у) будет лежать на параболе в том н только том случае, когда её координаты будут удовлетворять уравнению

Уравнение (6) есть уравнение параболы в выбранной системе координат, Для получения канонического уравнения параболы возведём обе

2 .2

части в квадрат; получим: х2 — рх + ~ ¦+¦ у7 ~ х2 + ух 4- или у2 =

= 2рх — каноническое уравнение параболы. Она симметрична относительно оси Ох. Точка О — начало координат — называется вершиной параболы и является точкой пересечения параболы с осью симметрии.

График функции у = ах2 Ьх -Ь с (а Ф 0) есть парабола. Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, то вниз. Координаты вершины царардн определяются о уравнения ^б — 0. Если

зершина параболы находится в точке А, то яд — ——F уд — г/С^л) ~ — ———. Координаты точек пересечения параболы с осью Ох есть

———. Вели Ь"2 —4ас = 0, то парабола касается оси Ох УА " 0, при Ь2 — 4ас < 0 парабола не пересекает

2а'

з точке, ХА — ось Ох.

График функции х ~ ay2 + by + са ф 0 также есть парабола координаты вершины {XRV = 0) есть УА ХА " ^(їм) = — Если а > 0, то зетви параболы направлены эправо от оси Оу, при а < 0 — влело» Координаты точек пересечений с осью Оу есть у^д ~

=. .... ^ —Н^.. при Ь2 — 4ас = 0 парабола касается оси Оу, при

b2 — 4ас < 0 парабола не пересекает ось Оу. >1 — 0 Г х ?/ - -y/'SpT- Графики параболы у2 — и х2 = ±2ру при р > 0 представлены на рис. 21.

Замечание. Уравнение параболы у = ах2 + Ьх + с (а^ 0) можно представить (выделить квадрат) в виде

а

JL

г- +

У— а

= а

Т

¦

За/ 4а

bY . Г" ' а а -1а.3 Ааг J [V тогда:

rrpw а > 0 парабола у = ах2 + Ьх + с имеет наименьшее значение 4ас4-Ь при — — ^ (наибольшего значения не имеет);

при а < 0 парабола у = ах2 Ьт 4- с (а^ 0) имеет Еіаибольшее

значение ^ при Хо = — (наименьшего значения не имеет).

4а 2а

Призер* Найти наибольшее и наименьшее значение функций

\) у —2х7 7;

2) у — 8 + cos2х + 4 cosх{ 1 — cos т);

3} f{x,y) = + Ay2 H- SJ:^ + % + 13,

Решение. J) Так как у = 2х2 — 4х 4- 7 ~ — 2® 4-1-1)+ 7 = = 2(т — 1)г + 5, Отсюда следует, что наименьшее значение функции у = 2х2 — 4х 4- 7 равно 5 и достигается это значение а точке х « 1, а наибольшего значения она не имеет, так как не является ограниченной сверху.

у - S + соз2я; 4- 4 oos т(1 — cosт) = 8 - 1 4- 2 cos3 х 4 4 COST — — 4 cos" х — 7 — 2(CQS2T — 2 cos Я + 1 — 1) — 9 — 2(cos л: — L)3. Отсюда имеем, что наименьшее значение функции равно 1 и достигается в точке а:, где cosx -1 (х = тг(2к 4-1)), Наибольшее значение функции ранно 9 и оно достигается в точке, где cos х = 1 (х =

у) - G.T2 4- 4у2 4 8ху 4 4у 4- 13 = (2т 4- 2у)2 4- 2*2 4- 4у + + 13 = {2х 4 2у)2 4- 2(т - I)2 4 4а; -f 4у + 11 = {2х + 2у)2 4- 2{х - 44- 2(2х 4-1 4-10 = (2х + 2у 4 I)2 4- 2{х - 1)а -ь 10. Отсюда следует, что наибольшего значения функция /(?,у) не имеет, а наименьшее значение равно 10 н достигается при х — 1 — 0, 2х 4 2у + 1 — О,

в точке Mi (V = 1,з/ ^ —^.

Задача 31. Определить, при каких значениях углового коэффициента к прямая у = кх 4- 2

пересекает параболу у2 = Ах;

касается её;

проходит вне этой параболы.

Решение. Совместное решение уравнений у = кх 4- 2 и у2 — 4х даёт: к2х2 4- 4{к - 1)т -М = 0, отсюда xi = 2 1 - * ~

1 — 2fc >0 — прямая пересекает параболу (fe <г 1/2);

1 — 2к = 0 — прямая касается параболы (к =» 1/2); ^

1 — 2А; < 0 ~ прямая проходит вне параболы (fc > 1 /2).

Задача 32. Написать уравнение параболы, проходящей через точки (0,0) и (—1,2) н симметричной относительно оси ОтРешение, Уравнение параболы, проходящей через точку (0,0) н симметричной ОТНОС иол ЬНО ОСИ Оз ЄСТЬ о м 2;е. Тогда подставим

в него координаты тачки (—1,2), получим 4 = р= —2. Искомое уравнение будет у2 = —Ах.

Задача 33. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удалённых от точки Р(2,0) и от прямой у — 2.

Решение. Пусть М (х, і^про и зволь на я точ к а искомой линии, тогда \MF\ = \МЛj или у7(i — 2)2Ь у- = л/{у - 2)2 „ где , 2) — точка пересечения перпендикуляра, проведённого из точки М к прямой у = 2. Возведя о квадрат обе части, получим: х2 — 4х + 4 + у" ^ у2 — 4у 4Т

или у = —- + х — уравнение параболы.