§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

— l — SR х была выведена при условии, что S и R

обозначают пропорциональные преобразования, происходящие соответственно в регулируемой системе и в регуляторе, то есть что в обеих системах осуществляются преобразования, состоящие в умножении состояния входа на действительные числа S и R.

Как известно, в каждой относительно обособленной системе состояние входа х преобразуется в состояние выхода у; указанное преобразование можно записать следующим - образом: у=Тх. Символ Т называется оператором преобразования; это правило определяет, что следует сделать с состоянием х на входе, чтобы получить состояние у на выходе. Оказывается, что над такими правилами или операторами преобразования можно производить разного рода алгебраические действия. Совокупность правил алгебраических действий над операторами и носит название операторного исчисления..

Рассмотрим частный случай операторов — линейные операторы. Это операторы, удовлетворяющие следующим двум условиям:

1. Т (сх) = сТх
2. T(x + v) = Tx+Tv

для в<^ех значений х и и, принадлежащих определенному множеству, а также для любой постоянной с.

Первое из этих условий означает, что преобразование Т величины сх (где с — постоянная) равнозначно преобразованию Т величины х с последующим умножением результата на постоянную с. Иными словами, постоянную с можно вынести за знак оператора.

Другое условие означает, что линейные операторы обладают свойством аддитивности, то есть преобразование суммы величин х и v равнозначно сумме того же преобразования величины х и величины v.

Простейший линейный оператор — оператор пропорционального преобразования, который преобразует состояние входа х в состояние выхода у посредством умножения состояния входа на некоторое действительное число; следовательно, y—kx, где & —постоянная (действительное число).

Перечислим основные линейные операторы:

1. 1. Оператор прдпорционального преобразования, или, короче, оператор пропорциональности, о котором уже говорилось. Он состоит в умножении состояния входа х на постоянное действительное число.
   2. Оператор дифференцирования. Если состояние входа х есть функция некоторого параметра t, то есть x=f(t)9 то этот оператор означает, что для достижения определенного состояния выхода следует дифференцировать функцию, выражающую состояние входа, то есть определить производную этой функции. Оператор дифференцирования обозначается символом

или, проще, через D. Из дифференциального исчисления известно, что при вычислении производной условия линейности преобразования соблюдаются, ибо Dcx=cDx и D(x+v) =Dx+Dv.

3. 3. Оператор (неопределенного) интегрирования, который состоит в том, что состояние выхода определяется как первообразная функция или интеграл состояния входа: x=f(t). Этот оператор обозначается символом неопределенного интеграла /...Л (или символом D"1, так как интегрирование обратно дифференцированию). Это линейный оцератор, ибо, как известно, постоянную можно вынести за знак интеграла, и, кроме того, интеграл суммы равняется сумме интегралов.
   4. Разностный оператор (оператор образования конечных разностей), обозначаемый символом Д. Его смысл заключается в следующем. Если множество возможных значений состояний входа системы можно представить в виде ряда Х\; х2, ..., то оператор Д преобразует состояние входа Хі в разность Хш — хи то есть Axi = xi+i — Х{. Этот оператор также является линейным, ибо ДCXi = CXi+i—CXi = CX {Xi+\—Xi) *=cAXi И' A (Xi + Vi) = Xi+t+Vi+i — Xi — Vi=Axi + &Vi.

5. Оператор суммирования обозначаем символом Б; он просто состоит в суммировании состояний входа по некоторому индексу І.
6. Оператор правого сдвига (опережения) обозначаемый символом Е.
   Если множество возможных значений входа системы можно представить в виде ряда хи х2у ... хп, то оператор Е прообразует состояние входа Х{ в состояние выхода Х{+1 и, следовательно, Exi = x{+t.
7. Оператор левого сдвига (запаздывания) аналогичен оператору упреждения, но состояние входа х\ здесь преобразуется в состояние выхода Обозначим его через Е~х и запишем Нетрудно убедиться, что три последних оператора линейны.

В технике системы или устройства, соответствующие этим основным операторам, носят следующие названия (соответственно): пропорциональный преобразователь (в зависимости от назначения — усилитель или ослабитель), дифференциатор или дифференциал, интегратор, устройство упреждения или задержки.

Сумму двух операторов можно записать в следующем виде:

(Г1 + Г2)*=Г1*+7>. (1.9)

Это означает, что сумма оператбров 7\ и Г2, примененных к х, приводит к тем же результатам, что и применение к х сначала оператора 7\, затем оператора Т2 с последующим сложением полученных результатовг

Аналогично определяется разность двух опера- торов:

(Тх-Т2)х=Тхх—Т^ (1.10)

Произведение двух операторов определяется равенством:

Т2Т,х = Т2(Тхх)< (1.11)

Здесь и далее с целью терминологического единообразия там, где это возможно, мы руководствовались терминологией книги Р. Ал л єна, Математическая экономия, М., ИЛ, 1963, ререв. с англ. под ред. Альб. Л. Вайнштейца. — Прим. рес),

которое означает, что применение к х произведения операторов Т\ и Т2 заключается в преобразовании х посредством Tiy а затем — в преобразовании полученного результата оператором Г2. Следует отметить, что произведение операторов не обязательно характеризуется коммутативностью; поэтому преобразование х сначала посредством оператора Ти а затем — посредством оператора Т2 может дать иной результат, нежели обратный порядок преобразования

Квадрат оператора определяется как произведение одинаковых операторов:

Т2х=Т(Тх).

- Полагаем, по определению, что n-ая степень оператора Гя, где п — натуральное число, есть /г-кратное ' произведение (повторение) одного и того же преобразования, то есть Тпх — Т{Тп~хх).

Символом ~y или Т~ обозначается обратный оператор. Смысл этого оператора состоит в том^ что если Т есть оператор преобразования х в то Г-1 есть оператор преобразования у в х, то есть если у=Тх, то х=Т~1у.

Определение ~ операторадает, возможность

HpеДСТкВШЙЬг ДеЛШіШШіїераХО^Ш: - „ о.: ^ е • :

Тії Г2 = Гї^7Т1. ^ (ГЛЗ) -

, Введем, наконец, понятие тождественного преобразования, оператор которого обозначим через Т° или через /. При тождественном преобразовании данная величина х преобразуется в ту же величину х, так что

49

4 о. Ланге

TQ=Ix=x. Если преобразование является пропорциональным, то / есть оператор преобразования, состоящего в умножении на 1; поэтому можно записать /=1. Такая форма записи будет vупотребляться и далее во всех случаях, когда это не вызывает недоразумений.

Из определения обратного оператора следует, что ТТ~1 = Т'1Т = =/, (1.14)

ибо

у=Тх=ТТ~1у = у,

а также

х = Т~гу = Т~1Тх = х.'

Определенные выше действия над операторами дают возможность заменять одни из перечисленных основных линейных операторов другими. Так, оператор (неопределенного) интегрирования можно заменить оператором, обратным оператору дифференцирования: / .. .<dt=D~l.

Точно так же тождественны оператор запаздывав ния и оператор, обратный оператору опережения; этим объясняется обозначение оператора запаздывания символом Е~1.

Разностный оператор А можно выразить посредством оператора опережения Е. В самом деле:

AXi —— j — X}=== Ext — Xi=:: (JE —— 1) Xi

и, следовательно, А ==£—1 или £"=== A+I.

Выражение А=Е—1 означает, что разностный оператор тождествен разности между оператором опережения и оператором тождественного преобразования.

Оператор суммирования также можно выразить посредством оператора опережения, ибо

п

^іхі = х1-{-Ех1-{-Е2х1+ ...

у

Таким образом, можно записать!

Еп—і — Е — і '

i-i

Следовательно, вместо семи перечисленных выше основных линейных операторов можно ограничиться тремя, которые мы назовем элементарными линейными операторами. Остальные операторы могут быть выражены с их помощью. В качестве элементарных принимаются оператор пропорциональности, оператор дифференцирования и оператор правого сдвига (опережения).

Докажем теперь, что основная формула теории регулирования у= і^здХ верна для любых происходящих в регулируемой системе и в регуляторе преобразований, операторы которых линейны.

Предположим, что в регулируемой системе происходит произвольное преобразование y=Sx, где оператор преобразования S является линейным. Включая с помощью обратной связи регулятор, в котором происходит преобразование Дx=Ry, где R — также произвольный линейный' оператор, получаем систему регулирования, в которой происходит следующее преобразование:

- - y = S(x+i\x) = S{x + Ry).

Поскольку операторы 5 и R линейны, то y = S(x+Ry) = Sx + SRy

или

у—SRy = Sx.

Отсюда следует, что (/— SR)y~Sx и, учитывая, что /= 1, получим

У— 1 —SR Х'

Такова основнаяформула теории регулирования. Мы показали, что эта формула верна, если операторы S и R линейны.

Современная техника регулирования и управления чаще всего опирается на указанную формулу, которая справедлива при условии линейности операторов преобразований, происходящих в регулируемой системе и регуляторе. Основанные на этой предпосылке регулирование и управление называются линейным регулированием или линейным управлением.

Математически значительно сложнее теория нелинейного регулирования. Здесь она рассматриваться не будет.

Операторное исчисление весьма удобно, в чем мы могли убедиться на примере доказательства основной формулы теории регулирования. Оказывается, что над операторами можно производить алгебраические действия и получать формулы, как если бы операторы были числами.

числа (или векторы). Тогда можно записать

Отношение чисел (или векторов) j- мы поставим в соответствие оператору ТК Это отношение назовем абсолютным значением оператора преобразованияу=Тх, что в данной книге соответствует пропускной способности системы.

В системе регулирования мы имеем дело с пропускной способностью регулируемой системы S = и

пропускной способностью регулятора ^ = Основная формула теории регулирования показывает4, что систему, состоящую из регулируемой системы и регулятора, можно заменить единой системой, в которой происходит одно преобразование у=Тх с пропускной способностью (абсолютным значением) 7, = -j =

= ; Этот показатель мы, как и ранее, назы

ваем пропускной способностью системы регулирования; здесь, разумеется, речь уже идет об абсолютном значении оператора.