§ 6. КИБЕРНЕТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДЕЙСТВИЙ НАД ОПЕРАТОРАМИ
В данном случае операторные формулы таковы: уг = Тгх и у 2 = Т^х,
откуда
У = У і 4-У2 = Тгх -+- Т2х = (Тх + Т2) х.
Результат этого расчета можно представить в виде одного преобразования у = Тх, где Т=Т\ + Т2.
Отсюда вытекает следующее утверждение: оператор преобразования, в котором две системы соединены параллельно, равняется сумме операторов отдельных систем.
Эту теорему можно обобщить методом индукции на конечное или бесконечное (но счетное) множество параллельно соединенных систем.
Рассмотрим теперь последовательную связь (последовательное соединение) двух систем с линейными операторами Т\ и Т2 (см. рис. 14). При последовательном -соединении состояние выхода одной системы оказывается состоянием входа другой системы. Тогда У\ = Т\Х и y~T2y\. Подставляя первое преобразование вместо у\ в формулу второго преобразования, имеем у—Т2Т\х. Это равнозначно одному преобразованию у = Тх, оператор которого Т=Т2ТХ.
Отсюда получаем следующую теорему: оператор, соответствующий последовательному соединению двух систем, равен произведению операторов этих систем. Эту теорему методом индукции также можно распространить и на произвольное конечное или бесконечное (счетное) множество последовательно соединенных систем.
В технике последовательное соединение ряда систем часто называется каскадом. "Действительно, в таком соединении преобразование состояния начального входа X как бы проходит цепь «порогов», соответствующих системам последовательного соединения.
Поскольку, как мы уже видели, линейным операторам можно поставить в соответствие «пропускную способность» (абсолютное значение) соответствующих преобразований, то приведенные выше две теоремы можно также сформулировать по-иному; первая теорема: совокупная пропускная способность систем, соединенных параллельно, равна сумме пропускных способностей этих систем; вторая теорема: совокупная пропускная способность систем, соединенных последовательно, равна произведению пропускных способностей этих систем.
Рассмотрим третий тип соединения, о котором уже шла речь выше, а именно обратную связь (см.
рис. 15) г Обозначим преобразование в двух системах, соединенных обратной связью, через у = Тхх и Дх=Т2у. Тогда мы получаем уже известную формулу:Это равнозначно преобразованию у = Тху где Т =
= Т^ТГТ~' Следовательно, соединение двух систем обратной связью приводит к тому, что оператор первой системы Т\ умножается на 1 т . Этот последний «сомножитель» и есть оператор обратной связи. В случае, когда Тх и Т2 — пропорциональные преобразования, этот оператор равнозначен коэффициенту обратной связи, который упоминался выше.
Рассмотрим два более сложных случая соединения систем. В первом случае предположим, что существует регулируемая система, которой соответствует оператор S, и соединенные с ней параллельно две системы обратной связи или два регулятора с операторами Ri и R2 соответственно (см. рис. 16). Производим действия над операторами. Результат расчета по такой системе регулирования можно записать в виде одного преобразования у = Тх. Обозначив через Діи Дгсостояния выходов первого и второго регулятора соответственно и, следовательно, и &2x=R2У, .находим, что
у = S (х+ Д хх+ А2х) ^=S{x + Rxy + R2y) =
= Sx+SRiy+SR2y..
Отсюда:
_ y(\-SRl-SR2) = Sx
и
у= i-stft + R2) х- <U5)
Итак, в данном случае результирующий оператор всей системы регулирования есть Т =
Указанный результат аналогичен тому, который получился бы, если два параллельно соединенных регулятора заменить одним регулятором с оператором /?=/?і+і?2. Это означает, что вместо двух параллельно соединенных регуляторов можно поставить один, пропускная способность которого равна сумме пропускных способностей отдельных регуляторов. Сказанное можно распространить на произвольное конечное или бесконечное, но счетное множество регуляторов, соединенных параллельно.
Во втором случае предположим, что система регулирования состоит из двух регулируемых систем, соединенных между собой последовательно, с операторами Si и S2 соответственно, причем каждая из этих систем оборудована регуляторами обратной связи с операторами /?і и /?2 соответственно (см.
рис. 17).| о | о _ | |||
| Of | ||||
Дхг
-—Ф
Ах,
Рис. 17.
\
Состояние входа первой системы обозначим через Х\, выхода — через yh состояние выхода второй системы— через у.
/ Общий результат работы такой системы запишем в виде одного преобразования у = Тх. Согласно доказанным выше теоремам, имеем:
Р итоге
Таким образом, результирующий оператор рассматриваемой системы регулирования есть
J __ $2 т Si 1 1
Рассмотренные примеры сложных систем могут быть применены к решению конкретных задач экономики. Национальный доход У, интерпретируемый как общая сумма выплат в народном хозяйстве, может быть разложен на три составляющие: У=С+/+ где С — потребление, /— индуцированные (или вторичные) капиталовложения, объем которых зависит от величины национального дохода А — независимые капиталовложения, объем которых не зависит от национального дохода.
Допустим далее, что C=ctY и I—c^Y, причем и коэффициент потребления 0 < Ci < 1, и коэффициент индуцированных капиталовложений 0<С2<1; кроме того, сі + с2<1. Получаем Y=CiY+c2Y+A, откуда
1
1 — (сх + с2)
Таким образом оператор преобразова ния у=ТА, происходя щего в рассматривае мой сложной системе
-г 1
есть 1 =
1
1-(*, + *) - пРйчем выражение +
есть развернутая форма мультипликатора Кейнса. Блочная схема этой системы представлена на рис. 18.
Из схемы видно, что в регулируемой системе происходит тождественное пропорциональное преобразование с оператором S= 1; это значит, что независимые капиталовложения преобразуются в доход, равный по величине этим капиталовложениям.
С регулируемой системой параллельно соединены два регулятора с операторами С\ и с2. Из проведенного анализа видно, что комплекс систем такого рода можно заменить системой, состоящей из регулируемой системы и лишь одного регулятора с оператором с\ + с2 = с. Тогда мультипликатор Кейнса примет прежний вид с тем*однако, что здесь с есть сумма коэффициента потребления и коэффициента индуцированных капиталовложений.
Комплекс, состоящий из двух последовательно соединенных регулируемых систем с оператором S = l, каждая из которых оборудована регулятором с операторами С\ и С2 соответственно (см. рис. 19), можно
| t d | 1 | У/ | 1 | Y | ||||
| V | С/ | Y | ||||||
| с2 | ||||||||
Рис.
19.истолковать с экономической точки зрения следующим образом. В первой регулируемой системе и в соответствующем ей регуляторе происходит преобразование Уі = СіУі+Л, то есть Уг— А. Пусть эта система обозначает страну, получающую внешний заем в размере с2Уі, то есть в размере, пропорциональном произведенному в стране национальному доходу. Этот дополнительный фактор (внешний заем) вызывает преобразование, осуществляющееся во второй регулируемой Системе и в ее регуляторе, а именно; У=
= Y\ + c2Y, откуда У = ^^ Yv
ъь
J I
Подставляя в последнее равенство — А\ получим:
• Г-^.^А. (U8>
Как видим, результирующий оператор Т= 1 X Хт~— рассматриваемой сложной системы является
І Сі /
произведением мультипликаторов обеих последовательно соединенных систем регулирования.
Из проведенного анализа можно сделать некоторые более общие выводы. Кибернетическая интерпретация действий над операторами, соответствующими разного рода соединениям, дает возможность исчислить результирующий оператор действия целого комплекса систем. Отсюда следует, что каждая система, оператор которой можно представить в виде суммы, разности, произведения или частного других операторов, является собственно комплексом систем, определенным образом соединенных между собой.
В предыдущем параграфе было показано, что линейные операторы можно свести к трем элементарным операторам:
- оператору пропорциональности, то есть произведению состояния входа на величину k\
- оператору дифференцирования, D;
- оператору опережения Е.
Все прочие основные операторы можно представить как результат действий над этими элементарными операторами. Так, применяя обратное преобразование, получим:
-
- оператор /г1, обратный оператору пропорциональности;
- оператор интегрирования D*1;
- оператор запаздывания
Такие системы, в которых происходит преобразование, определяемое элементарным оператором или Обратным ему оператором, называются элементарными системами или элементами*
Поэтому все системы представляют собой либо элемент-, либо комплекс элементов, определенным образом соединенных между собой, ибо каждое алгебраическое действие над элементарными операторами может быть истолковано как соответствующее соединение элементов.
Дадим кибернетическую интерпретацию обратного оператора 7м.
Обратное преобразование означает, что если у=Тх, то х^Т-іу. В блочной схеме это можно представить так, как на рис. 20. В итоге Т~ХТ = 1\ это означает, что произведение операторов Т и Г" есть оператор тождественного преобразования — преобразования х ъ х.Наконец, что означает нулевое преобразование1 в кибернетической блочной схеме? Это преобразование можно записать в виде у=(Т—Т^х^О, где Т — любой оператор. Ее интерпретация дана на рис. 21. Как видим, нулевое преобразование — это параллельное соединение системы с оператором Т и системы с оператором —Т. А оператор —Г можно рассматривать как результат последовательного соединения системы с оператором Т и системы с оператором пропорционального преобразования — 1. Таким образом, блочную схему нулевого преобразования можно представить в виде приведенной на рис. 22»схемы соединения элементарных систем.