§43. Интегрирование простейших рациональныхфункций
Дробной рациональной функцией называется отношение целых рациональных функций, т.е.
отношение двух многочленовР(х) _ Апхп + Лп-1 з* ~1+_... + А\х + Лр Q(x) ~ ВтХ™ -I -f ВіХ + В'о
Если дробь ^T^Y неправильная (старшая степень х в числителе
выше или равна старшей степени х в знаменателе), то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной Дроби:
Ш - мы + за
Рассмотрим интегрирование дробей следующего вида:
I.
р(х)
Q{x)
(х — — Ь)J
??(я) ' й)(і - - с)
W г Ш
СЗ(аг) (ж - a)(z3 Ч- р® + ч)
Пример 1. Найти интеграл = 1)(ь+ 1}.
Решение, Подынтегральную функцию представим в виде суммы более простых дробей:
X
В
+
[я + 1)(2а; -h 1) X + Ї Яи+Г
Для определения постоянных А и S освобождаемой от знаменателя (приводя к общему знаменателю и сравнивая числители). Тогда получим тождество х = А(2х + 1) + В(х 4-1) = (2А + В)х + (Л 4- В). Учитывая, что если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты лрн одинаковых степенях х равны, получим систему; 1 = 2А Н- В, 0 = А + -Э. Решая эту систему, найдём А = 1, В ¦= — I; окончательно получим:
(-ІГ+Ї ~~ аїТї) ^ = lnIі + Ч — 5'пI21 + ч + с~ •
= In + с.
Пример 2. Найти интеграл Jj = Г —'
+ — 6 х
J аг -t- j: — в® Решение. Разложив знаменатель на множители х
= х(х2 + X — 6) — x(z — 2){i -4- 3)h представим подынтегральную функцию в виде суммы простых дробей:
В
7х -5
+
= 4 +
л: 3
2)0+3) х х-2
Освобождаемся от знаменателя:
7х - 5 = А{х - 2)(т -t 3) + Бх(х+ 3) + Сх(х - 2) =
= хНА + В + С) + х(А + ЗБ - 2€) - QA
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (в левой части подразумевается член 0 1 х2)\
А±ВЛ-С=^ 0, -6,4 - А V ЗБ — 2С = 7.
315е'
Решив эту систему уравнений относнтельно Ал В, С, находим А =
о se
В = С ~ —Окончательно получаем:
ХО . .15
h =
15 x + a)
'5 1_ 9
La X 10 * яг -2
|jflnlx + 3i| + G. 15
Рассмотренный метод нахождения разложения правильной рациональной дроби называется методом неопределённых коэффициектов.
Этот метод, как правило, довольно громоздкий. Укажем более простой метод, которым можно пользоваться только в нашем случае, т. е. если знаменатель подынтегральной функции имеет вид — (х — ~— ...(х — Чтобы найти коэффициент А в первом примере, нужно е подынтегральной функции Вычеркнуть скобку (лН-1) и а оставшемся выражении положить х = -I, Получим -4 = 1, а для нахождения коэффициента В нужно вычеркнуть скобку (2яЧ-1) и положить х = — ~ (нужно полагать то значение х, при котором вычеркнутая скобка обращается ъ нуль). Аналогично и в примере 2. Для нахождения А вычеркнем х и в оставшемся выражении положим х = 0;
5 б3
7х -5
7х - 5
23 15'
ar(s + 3) 7х - 5
х=-3
- 2)
А =
В -
(-3)13)
_ 14 - 5 _
2-5 10'
-2l - Б
("3)(-5)
Подчеркнём( что вычёркивание в знаменателе скобок и определение коэффициентов А, В, С можно производить только тогда, когда в знаменателе стоит произведение двучленов в первой степени.
д: - Зз: + 2 х{х2 +2х + 1)
dx.
х + і
Пример 3. Найти интеграл /з = j
Решение, Знаменатель можно представить в виде 4-І)2 Тогда
В . С
- 3s + 2 А
Освобождаясь от знаменателя ц, приравнивая коэффициенты одинаковых степеней х, получим систему уравнений: А + С = 1, 2А 4- В + С = = —3, Л — 2, Решая её, находим; Л —2, В = -6t С = — 1.
+ С.
(1 - ..„.Є ^Лв«в21пИ-1п|л + 1| +
1+ х
j V,® (1 ^ + 1/
ГТрн разложении подынтегральной функции мы воспользовались следующим правилом: если знаменатель правильной дроби имеет вид Q{a?) ^ = (х - xi)" ¦ (х — хзУ*. то справедливо разложение
Р(яг) _ Лп Q(x) (х-ц)
Ах
В
Ш
п +
їГ=Т 4-м.
++
х — х ] (а; — xi) Вт-1
(х - Xi)
+
Не было бы ошибки, если бы мы искали разложение подынтегральной дроби в виде
Xі - За + 2 _ А Вх + С z(x2 ¦+ 2х + 1) * Xі 4- 2л: + I
В атом случае Л — 2, В — С ~ —7. Тогда последнюю дробь пришлось бы интегрировать или методом, изложенным в предыдущем параграфе, или разлагать на сумму простейших;
-x - 7 _ ?+_1+_6 _ I _ б ¦х2 \ ~ ~ + 1)а*
Г (ха - х- 1) dx
Пример 4, Найти интеграл Ц — Г ——¦¦¦¦ ———-
J (а; — 1){я + х Н- 2)
Решение, Так как подынтегральная функция есть неправильная дробів то нужно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель, .
' х3 х - 2
хъ - х — 1
- + X - 2
где х3 + х - 2 = (х - 1 )(х2 +¦ х + 2). Следовательно,
1-а®
X - х - 1
= 1 +
(a; +Х+2) " {к - 1}(яїї + д: + 2)
Прааильную дробь разложим на простейшие:
1 - 2д _ А ^ Вх + С (х^1)(х3 Н-х + 2) ~ х-1 яг + х-НЗ*
Освобождаясь от знаменателя, получаем:
1 - 2z = А{х2 + х + 2) + (х - + С) =
= х2(А + В)+х(А - В + С) + [2A - С).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем А4- + В = О, А - В 4- С — -2Г 2А - С = 1. Решая эту систему, находим
317
\ гл, yj
318
MnmespcLioHoe исчисление
11 з
A — -
- В С ~ —¦=. Окончательно получаем:
^ dx -
х — G
д =
+ 1
4(х — 1) 4 х2+х+2
arot-g —і- С.
4\/7
Ут
= 1 In f.T — 1] + І ]ц jx2 + a: -г 2| 4 о
Здесь принято во внимание, что
(д; - 6) dx _ 1 Г (2а: -f 1) dx _ ІЗ
Г (2д -f 1) tJj _ ІЗ Г rti
їЧї+2
J 2
1; I 3 . „I 13 , 2x+ 1 ^
— -in ar -f t + 2 ¦=¦ arctg —= h С iS 4\/7 V7
При разложении правильной дроби было учтено, что если ее знаме-натель имеет вид Q(x) = (х — в)(х2 -І-^кг-Н q), а квадратный трёхчлен не ?імеет действительных корней, то
Р{х) _ А Вх+С —^
О(з) х-a x^ + px + q'
В заключение отметим, что если правильная дробь имеет вид
где
* М*)
то дробь ¦ ¦¦¦—^ можно представить в виде Ых)
А і
В0
4-
W +
/:{х) _ А,
Ві ВЛ_1 , Cqx 4- Dp
— Т т -j- - -f-
h{x) (х-тгГ 1 (і-гіГ"1 +
Г — X2
(x -bptX + (х - Хй) Cix+ Di
MQX+ NQ
A-tX-f Di_!
+
+
Afrs + jVL (jO
. Mj-i® + ^ + '' * Д —
7 -tt=T +¦ ¦ +