§44. Интегрирование простейших иррациональныхФункцій
/і-
t т/ах + у .
где снмипл Я означает рациональную функцию от двух аргументов; т — натуральное чтісло; и, b, с+ d — постоянные.
іто - г = d приведёт к тому»
Замена t
Ь
d
+ ft — Є ї
что подынтегральная функция исходного ИЕЇТЄ грала станет рациональной функцией.
Вычислив новый интеграл по правилам пред и душе го параграфа, про на ведём обратную замену.Пример 1. Найти интеграл h j - т-^ ¦ •
I и 1 3? J — ^Jj
t - ft±? - _ х±? ^ =
Решение, Сделаем замену
<з
Udt (l + t2)2'
dx —
- - Г) - 2ку
с?пг
t +1 — 1
dt = 2 f (it -
а
L + Г J
2 arctg
/ї+а
J 2 {1+?р Jl+ts
"21 rf^ ^2І"2агсі:є( + с = 2\/г?І"
2, Интегрирование дифференциального бинома. Интеграл от дифференциального бинома хт{а + bxn)p dx, где т, р — рациональные
числа, может быть приведён к интегрированию рациональных функцнй лишь в следующих трёх случаях (см. §41. примеры 18—20).
]) Пусть р — целое. Полагаем X — где N — общий знаменатель дробен вд и п,
„ і п
п
т-Ы
2) Пусть —: целое. Полагаем а + kc" =tN, где N — знаменатель дроби р.
3) Пусть
+ р — целое, тогда замена ах п 4- b = t^ где JV
знаменатель дроби р.
f
itс
\fx (1 + \fx ) '
Решение. Запишем интеграл в виде 1ч = +дз^ dx\
11
здесь т*= — = 1 — целое. В зтом случае замена х = ? s=
4 Л
= N — общий знаменатель дробей m и тц тогда dx — Сі5 dt и
r ?B + 1 - I
[*-efT
cie
dt^b
h =
+ t
?^3(1 +t2)~xGt*dt -ti
= Gi -- 6 arctgi - 6 arctg tyx +C.
I
i3 eft V I - xb
Решение, Запишем интеграл в виде h — - dx. Здесь
І ТУ) „Ь J
m = 3, n — 2, p = —так что ——— = 2 — целое, В этом случае
замена 1 — х2 — — N — знаменатель дроби р. Тогда t« х-,
х -- ~ і2 і dx = г;
з
-ж2)2
Г tir
Пример 4. Найти интеграл = _.. ¦¦
J аз +
Решение. В данном случае m — —:2, п = 2, р — — так что m + 1 + р = -1. В этом случае замена ах~п Л-b~tN — і2i где N - зна-
уДІ2 ~ і)"3
менвтель дроби р. Тогда г — , /Ь, х = ¦ 1 гіг
V х* - ?
j _ Г dx _ f ft? -fe)3/a -JZtdt _
+ 6
J а я л уя;
(см. также §41, пример 20).