§ 42. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
B) dx
, Ji
cto
-
Ji
-J
ax2 + Ьх ¦+¦ с
Js
і/ax3 -j- 6г + с
dx
у/ ат1 + bx + с ¦Л
j tur3 +
, J
Для того, чтобы найти указанные интегралы, нужно вначале выделить полный квадрат из содержащегося а знаменателе квадратного трёхчлена,
Выносим коэффициент а за общую скобку.
Коэффициент при х делим на доа (имеем Ь/(2а)).
ах
3.
Добавляем и нычитаем » в результате получим-- a(t2± jtV3),
. ь с Ь , 2
dx
,де ' = * + Е1 « ~ 4? ~~
Пример J, Намти интеграл J^ =
4х + Ах + 5
НИНН =
= 4(t2 + 1),
* ¦ - ¦ - J + + f +
Решение. Выделим полный квадрат: 4х2 + + 5 = 4 ?
/ = + ~, tJx = dtt Тогда
Г --= і arctgi + С = 1 arctg ^^ -ь С. tJ + 1 4 4 2
Г dx
Пример 2, Найти интеграл Ji — — ¦'¦¦¦ -
2х*
J V 2 + За; -
Решение.
= 2(тте2 - і3),
5
где I = я , m = df і= dx. Тогда
4
j = JL Г d' _
й v/2 j Vm3 - I3
arcsm — s= _L arcsin - + C.
тл n/2
Для нахождения интеграла Jjj произведём тождественное преобразование — выделим а числителе производную знаменателя и представим J2 в виде суммы двух интегралов:
X = —X = 2t№ + й J Ь = 2ад+ь _ Л 2а 2а 2а 2а *
Тогда
,Л f (Зоя + Ь) dx , _ 312
учитывая, что
W
= In [аз:2 -Ь Ьл; + с|,
Г (2ах + Ь) da: Г d(ax" + bit + с)
ах + Ьх +
ах -Ь Ъх ¦+¦ с
получим
Аналогично вычисляется интеграл J*.
Отметим, что на практике применение готовых формул длл интегралов Jn хотя н облегчает решение задачи, однако не даёт существе І того преимущества перед последовательными преобразованиями при конкретном задании коэффициентов а, bt с.
Пример 3, Найти интеграл = —— dx.
J Ах — 'їх + 17
Решение, Так как (4х2 — Ах + 17)' = — 4, то
4х2 - 4Х + 17 = 4 (а* + Ц + \ - і J = 4(t2 + 4), t = і;
r _ З Г {8х - 4) dx 1 Г tg = 3 Г d(4x* - 4s + 17) 3 S J 4я2 ~ -і-17 3 j ^ + 4 _ S J 4s* - 4х + 17
2х - 1
+ С.
+ І Л arct4 ^ 1Iri l4^ - 4:с 4 17' + haTCte
- 11) dx
yfb -\-2х — я?
Пример 4, Найти интеграл J4 =¦ |
Решение, Выделим нэ числителя подынтегральной функции производную подкоренного выражения: так как (5 + 2% — иг)' = — 2х -+- + % то
Sx - 11 - + _u = + 2) _ 3
и
5 - 2а; - х2 ^ -{х2 - 2х - 5 + 1 - 1) - -(?2 - 6) = 6 -Л2, Є = х - 1;
—I
-I
dt
Ja
(~2x + 2)dx
і
= -41 (5 + 2г - г2) 2 d (5 + 2z ™ я;2) - 3 arcsln —^ =
— +- 2х -^с* - їїагсзт % ™ 1
V6
Укажем другой способ нахождения интегралов от функций, содержащих квадратный трёхчлен (без выделения производной знаменате-
ля). После выделения полного квадрата н замены t = + получим: dx — di и
dt
J о(іг±тгї') г ±т2 а\ 2aJ)f
J2 =
dt
Тогда (см.
примеры 3 и 4): Г (Зд - 1)dx 1 Г (3^ + l/2)dt _ 3 f tdt IfJ І? _ 4a. + 17 ' 4 J Iі t-4 4 J Ігм Є J t''
44
= | Ь|4яа - 4® + 17f + ~ arctg + C;
Г dx = Г (8t - 3> dt _ Г T ^ Г
v/6 -
J \/o J т/6 -t3 і - i3 J
= -sVG - І2 - a axcsiu -p + с =
v6
- Л-2x - x2 - 3 arcsin + C.
Оба указанных способа приводят к гомут что Б квадратном трёхчлене исчезает слагаемое, содержащее первую степень переменной.