§ 59. Достаточные условия сходимости ряда с неотрицательными членами

(1-+QQ

1. Приэяак сравнения* При решении вопроса о сходимости ряда с положительными членами полезно бывает сравнить его с другими рядами, для которых уже решён вопрос о сходимости. Одним из таких рядов чаще всего является геометрическая прогрессия.

Пусть даны два числовых ряда с положительны ми членами-

оа

Qi + аэ + + ап 4-... = «А (I)

и

к-1

ЬІ +Ь2 + .., +Ьп + ... = f; Ьк. (2)

Jfc=i

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 33, Если каждый член ряда (1), начинал с некоторого члена, не превышает соответствующего члена ряда (2), т, е. лп ^ Ьп, и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1), а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы первого и второго рядов. Ид условий an < bn следует, что < S*. Если ряд (2) сходится, то существует предел его частичной суммы и равен Sb. Так как члены рядов (I) и (2) положительные, то ^ < Sb и тогда < т.е. частичная сумма ограничена, но прн увеличении п она возрастает. Из того, что последовательность возрастает, но ограничена, следует (см. § 15), что она имеет предел. Следовательно, ряд (1) сходится, причём его сумма не превышает сумму ряда (2).

Пусть теперь известно, что ряд (1) расходится. Тогда и ряд (2) расходится, так как если бы он сходился, то по доказанной только что первой части теоремы должен бы сходиться ряд (1), а это противоречит условию.

Замечание. {Предельный признак сравнения,) Если 0 < lim ~ < , , л—^изо Ьп

< оо, то ряды (1) л (2J либо оба сходятся, либо оба расходятся

2.

Теорема 34. Пусть в ряде с положительными членами отношение

ос имеет предел д, т е. lim —

(п + 1)-го члена к л-му при п

то если q < і, ряд сходится; если q > 1, ряд расходится. Если q = 1. то ряд может сходиться, а может расходиться. Требуется дополнительное исследование.

JO

Пример 4. Исследовать сходимость ряда ^ если:

2) ап = ^т; 3) ап = Л) ап = ¦ 5) «

Тї I

п

rt(n + 1)1

Решение

1

=

— 0 < L

Um SstL

П"» СО

Ряд сходится.

1

(n + l)\ n!(n +1) * Ііш

п-Ы 2" Г

n™oo n!(n + 1)" n-^oo n + 1 щ № n + I

і) ~ йц+j - —

lim to nil . 1 < L

n-toc In I

n-ifio a,

Ряд сходится. 3) Так как

5™ 5

— oo,

lim ttfl = lim -5 — < — !> = km —— - Um

it—¦» n tocj LoOJ її—wo 2li >w

то ряд расходится, не выполняется необходимое условие сходимости. 4) аЛ = —¦-, ОпА-1 ™

»(п + I)1

1}(п + 2)* tf._ її

lim

= 1.

lim

П,—+М Иц

ТІ—W rt + 2

Признак Даламбера не даііт возможности установить, сходится ряд или расходится, Но ранее в примере } мы установили другим путём, что ряд сходится.

fi\ д - „ - (n + 1 r+1 _ (n+J)(.tfir _ (rv± L)f'.

an — Tfj ^n-rl —

Я 4 +

(n -I- 1)1

Fif

nf(n + 1)

Ііш їііі+і = lim (l + -Y

11MOC Ot[ n—*oo \ Tl /

Ряд расходится.

Отметим, что иногда проще исследовать сходимость pядаh используя признак Даламберз, чем найти Нщ Так, например, для того, чтобы

п—

найти lim нужно воспользоваться формулой Стирлинга, которая

П—ОЙ Ті! .

С

позволяет оценить факториалы болъших^чисел, т,е, при п —J ОО п! « — ] y/2wri, тогда lim —г = lim - jL^ = со. Ряд расходится, при-

t С / tl—ч» ПІ П-Н¦» "/2ЇГП

Т1—НИ О I,

чём его общий член ап —+ оо при п оо (в то время, как аг1+- —

lim (l + =

II—«ОС V п/

3. Признан Кошн.

Теорема 35, Пусть в ряде с положительными членами Нт іул^ =

р, тогда, если р < 1, ряд сходится; если р > 1, ряд расходится.

«3

Пример б. Исследовать сходимость ряда ^ аПі если:

n-i ,

( 2 \ 1 1 / п \п

Решение. 1) Ііїїі іуаїї — lim

— Ряд сходится.

п + 1

lim іVa^ = lim :— = 0. Ряд сходится.

iJ-^OO n^+co ІПП

2 3 п ^ ^

холится (см. ниже), но lim ап = Ііш - = 0; Ііш 1>+і — lim , .

¦— ТІ —»ОЙ П И-І» ?ln ті—*oO Jl т 1

Ряд l + J + + ^ + называется гармоническим. Он paean — urn — = и; um ¦¦ = птії —п

п—t&o

"/Г.,

— 1; lim * j n-t« У ті

Для того, чтобы доказать, что lim гУсь — 1, сделаем замену у - = Тогда — Inn И lim In у = — tini -

\1 71 ТІ ft—оо п—ОО ТІ

это неопределённость вида применяя лраэило Лопнталя, имеем: lim kry = — lim il/^2 т= — Hm — = 0.

n—tco n—*чро 1 n-tca 71

Так как їпу —»0, то у —* L Аналогично можно доказать, что

lim \/пА В — 1, где А и В — постоянные (см. § 61)

Я—ЮО

4) lim V/аї = Изп (—Т = lim (l + -Г" = є" < 1. Ряд схо-

ті—ноо ті—оо + І/ ті—юа у ft у

ДИТСЯ.

4l Интегральный признак сходимости.

Теорема 36. Пусть члены ряда положительные н не возрастают при возрастании nt тогда ряд сходится нли расходится, смотря по тому,

оо

имеет интеграл

an dn конечное или бесконечное значения.

ВС,

1 3) ап —-

Пример 6, Исследовать сходимость ряда ^ art, если: 1 1 п-

1) ап = -х; 2) ап -

гґ + 1

Решение,

ОО ^

ос

.1-й Iе0

= оо. Ряд расходится- Если сч ф 1, то f — = , , Отсюда следует,

J п 1-а к . і что если 1 — а > 0, т. е, а <1, интеграл расходится, расходится и ряд;

если 1 — л < 0, т.е. а > I, то интеграл сходится, сходится н ряд. Итак,

ОО 1

ряд ~ff сходится при or > 1 и расходится при а ^ 1.

In (Iim)j™, а — 1;

1-а

. афі. 524

I П(]пп)а \ (Ьтг)

1 -а.

ОтсЕода имеем:

а) если а, = 1, го Jim In (hi га) — оо, ряд расходится;

n—>сю

1 і 100 6} если а. < 1, то ^ (Inn) j2 ооі ряд расходится;

| ієн

в) если О > It ТО — ^ (lnn)1"4:^ - Y^CV (Ьі 2)1-сгт рПД СХОДИТСЯ.

3) J " = ^ In (n® — 1) j ^ = oo. Ряд расходится, 1