<<
>>

§ 2. ДИНАМИКА НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

В предыдущем параграфе анализировалась динамика дискретного процесса регулирования, то есть предполагалось, что регулятор работает дискретно с определенным запаздыванием At. Это запаздывание мы приняли за единицу времени (А/=1).
В соответствии с этим было выведено уравнение регулирования в виде разностного уравнения (4.3), которое можно записать также в следующем виде, вычтя из обеих частей yt-ь

Vt - Уг-1 = (SR- 1 )yt-v .(4.3a)

Предположим теперь, что запаздывание может иметь произвольное значение At, которое рассматривается как переменная. Вводя переменное значение At в приведенное уравнение регулирования и приняв, что разность yt — yt-ы пропорциональна At, получим вместо уравнения (4.3а) следующие уравнения:

(4.5)

или _

=(SR- (4.5а)

В случае А£=1 это уравнение сводится к уравнению (4.3) или (4.3а). Левая часть выражения (4.5) выражает нарастание возмущения в период А/, представляющий собой запаздывание в работе регулятора. Это нарастание тем более значительно, чем с большим запаздыванием работает регулятор; оно является возрастающей функцией этого запаздывания. Для небольших значений запаздывания можно принять, что это нарастание пропорционально величине А/, отсюда—сомножитель А/ в правой части уравнения (4.5).

Предположим, что запаздывание в работе регуля-- тора становится все более кратким, то есть что Тогда уравнение (4.5а) преобразуется в следующее дифференциальное уравнение:

^P- = (SR-\)y(t). (4.6)

Это уравнение описывает непрерывный процесс регулирования. В случае непрерывного процесса мы будем записывать символ t в скобках, а не в виде индекса: например, y(t), а не yt и т. п. Это поможет отличать описания непрерывных и дискретных процессов.

Решение дифференциального уравнения (4.6) можно записать в следующем виде:

У(*) = У( О)*5*-1*', (4.7)

где постоянная i/(0) определяется начальными условиями состояния системы.

По существу г/{0) есть возмущение в. начальный момент t=0. В самом деле дифференциальное уравнение (4.6) можно преобразовать так:

^L.JL = <S/?_1 или A = dt у (*) dt

Интегрируя обе части последнего уравнения, получим Iny(t) = (SR — l)f-fconst., или у (і) — Ke(SR -1>«, _ где К — постоянная. Приняв /=0, находим, что К=-у{0).

Из выражения (4.7) следует, что условие устойчивости системы состоит в том, чтобы SR—1<0, или

SR< 1, или же Следовательно, может быть,

например, S/? = —2 и система также будет устойчивой. Это условие отлично от того, которое было выведено в § 1. Здесь устойчивость зависит не от мощности \R\ и |S|, а от пропускной способности R и S. Оказывается далее; что процесс регулирования в системе с непрерывно работающим регулятором всегда имеет мойотойный характер и колебания в нем отсутствуют. Значение у(t) при /-►со неизменно остается положительным или отрицательным в зависимости от знака при j/(0).

Приведем два примера работы системы непрерывного регулирования, один—для обобщения мультипликатора Кейнса на непрерывный случай, другой — для непрерывного процесса формирования рыночной цены.

Для модели Кейнса приведенное уравнение регулирования имеет вид

Tt=crt-V

Согласно формуле (4.5а), его можно преобразовать в выражение

Предполагая, что получим дифференциальное

уравнение dYJp — {с— \)Y(t\ решение которого есть

F(/) =F(0)e<c"~1)*. Из этого решения (ср. с (4.6) и (4.7)) следует, что непрерывный процесс регулирования в модели Кейнса всегда протекает монотонно. Условие его устойчивости есть £<1. Но поскольку, по определению, с > 0, то условие устойчивости остается тем же, что и для дискретного процесса (0 < с < 1).

Аналогично обстоит дело в случае непрерывного процесса формирования рыночной цены. Соответствующее приведенное разностное уравнение таково:

pt = Tpt-V Его можно преобразовать следующим образом:

Pt - Pt-At = | Pt-&A- Pt-At bt

или

При Д/ —► 0 получим дифференциальное уравнение

~іїР~ ~{a ~ l] p{t)' решение которого есть

p(t) = p( 0)Д-1)'.

Условие устойчивости непрерывного процесса формирования цены состоит в том, чтобы ——1<0 или

b а <0.

Если, например, 6<0, то условие устойчивости процесса состоит в том, что абсолютное значение параметра Ь должно быть меньше абсолютного значения параметра а, то есть |6|<|а|. Это означает, что процесс формирования рыночной цены устойчив независимо от того, является ли функция предложения возрастающей или убывающей, лишь бы абсолютное значение ее углового коэффициента не превышало некоторого значения. Таково традиционное условие рыночного равновесия, указанное Вальрасбм; оно выводится при предположении непрерывности процесса формирования рыночной цены.

Формулы, характеризующие динамику непрерывного процесса регулирования, можно непосредственно вывести с помощью операторного исчисления. Как мы уже знаем, приведенное разностное уравнение можно записать следующим образом:

yt = SRE~yt или Еу( = SRyt, .(4.8)

где Е-1 — оператор запаздывания данной величины во времени на Д/=1, а Е — соответствующий оператор опережения.

Известно, что существует следующая зависимость между оператором Е и оператором дифференцирования: срД+1 К Пользуясь этой зависимостью, разностное уравнение (4.8) можно записать как -

(Д+1 )yt = SRyt или _

tyt — (SR — \)yt.

Заменяя постоянное запаздывание, равное единице времени или Д/=1, переменным запаздыванием Дt, получим:

Ayt = (SR-\)ytM или _

^ = (SR^\)yt. (4.9)

Если Д/-*0, то применение оператора в левой

части уравнения в пределе даст тот же результат, что

и применение оператора дифференцирования -jg-=Dl.

В результате при At-+0 разностное уравнение (4.9) преобразуется в дифференциальное уравнение

Dy(t)=(SR- l)y(t),

которое идентично дифференциальному уравнению (4.6), выведенному выше другим способом.

<< | >>
Источник: О. Ланге. ВВЕДЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКУЮ КИБЕРНЕТИКУ. Перевод с польского. Издательство "ПРОГРЕСС" Москва. 1968. 1968

Еще по теме § 2. ДИНАМИКА НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ: