§ 3. ДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ . ОСНОВНОЙ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ РЕГУЛИРОВАНИЯ
основной формулы регулирования У~ \__sR Хт
мем, по аналогии, что оператор обратной связи
выражающий работу регулятора, можно
представить в виде бесконечного геометрического ряда:
1-±—=l+SR+(SRr+(SRf+ ..., (3.11)
причем эта формула имеет смысл (то есть этот ряд является сходящимся), если «абсолютное значение» SR меньше 1, то есть |S/?|<1.
Еще не уточнено, что означает символ \SR\ в общем случае.
Известно, однако, каково его содержание в частных случаях. Если, например, регулируемая система и регулятор осуществляют пропорциональное преобразование, и, следовательно, величинам S и R соответствуют действительные числа, на которые умножается состояние входа, то величина \SR\ имеет определенное значение, ибо она выражает умножение состояния входа на абсолютное значение произведения двух действительных чисел. Можно также определить символ \SR\, если операторы S и R обозначают умножение на комплексное Число, ибо в математике существует определенное понятие абсолютного значения (модуля) комплексного числа, которым можно воспользоваться в данном случае.Однако в общем случае говорить об абсолютном значении операторов бессмысленно, ибо символ оператора Г, определяющего преобразование состояния входа х в состояние выхода у (то есть у=Тх), есть правило, которому не обязательно соответствует определенное число. Необходима некая обобщенная интерпретация «абсолютного значения» оператора, о чем и пойдет речь ниже.
Преобразование у=Тх можно переписать в виде
jT=~. Такая запись показывает, что каждому оператору можно поставить в соответствие отношение то есть пропускную способность системы. Это есть
отношение двух чисел или векторов. Поскольку абсолютное значение (модуль) вектора есть действительное число, то всегда можно говорить об абсолютном значении «пропускной способности» системы Mr I в "Ш •
Таким образом, из записи Т = ~ вытекает определение абсолютного значения оператора как абсолютного значения его «пропускной способности».
Однако определенное таким образом абсолютное значение является, как правило, переменной величиной, ибо состояние входа х и состояние выхода у, как правило, — переменные, например временные функции x(t) и y(t), или же они зависят от других переменных.
Чтобы найти однозначно определенную постоянную величину, соответствующую оператору Т% возьмем верхнюю грань абсолютных значений ДЛянепрерывных линейных операторов такая верхняя грань существует всегда В итоге абсолютное значение оператора, называемое также его нормой, можно определить как
|| Г || = верхняя грань . (3.12)
Таким способом каждому оператору ставится в однозначное соответствие величина, которая представляет собой его абсолютное значение3.
Следовательно, (S/?)m->0 при оо, если
|Sfl|<l, то есть если соответствующая верхняя грань пропускной способности меньше 1. Тогда, согласно выводам § 2, сумма членов бесконечного ряда 1 +
+ (SR)+(SRf+ (SRf + .. . = и y=\\+(SR) +
4- (SR) + ...} Sx = j __ од х. Как видно, работа регулятора состоит в осуществлении последовательных приращений (положительных или отрицательных) зна- чения состояния выхода у 6 системе регулирования. В начале это состояние есть Sx, затем оно возрастает на (SR)x, далее на (SR)2Sx и т. д. Это происходит под последовательным воздействием состояния выхода регулируемой системы на состояние ее входа посредством регулятора обратной связи. Если |5/?|<1, то эти приращения постоянно уменьшаются и сумма приращений является сходящейся.
Условие сходимости ряда в правой части формулы (3.11) можно также определить с помощью характеристических корней оператора SR. Как и в теории матриц, характеристические корни оператора Т мы определяем как числовые значения параметра К, при которых существует ненулевое решение уравнения
Тх = 'кх1 (3.13)
где х — число, вектор или функция. Это уравнение можно также записать в следующем виде:
(Т — Щх*= 0. (3.13а)
Условием существования ненулевого решения этого уравнения является равенство
= 0, (3.14)
то есть то, что оператор Т—XI является нулевым оператором. Таково характеристическое уравнение оператора Т. Значения параметров, для которых справедливо характеристическое уравнение, являются характеристическими корнями оператора Т.
Как и в теории матриц, посредством ряда подстановок в уравнение (3.13) находим, что Tmx^=%mx.
Поэтому при хфО Тт стремится к нулю при возрастании т тогда и только тогда, если Кт -> 0. Это имеет место, если |М<1 Для всех возможных значений характеристических корней К Следовательно, рядІ+Т+Тй+... является сходящимся, и сумма его членов равна f}_T или (/—Г)".
Используя характеристические корни А,, оператор обратной связи (3.11) можно записать как
= ...)SR,
а основную формулу теории регулирования — в виде y = Sx + [(l+%+%*+ ...)SR]Sx. (3.15)
Если |Л|<1, то |А,|—коэффициент ослабления последовательных изменений состояний выхода системы регулирования, происходящих под действием регулятора.
Отсюда следует, что системы регулирования можно рассматривать в динамике как бесконечные процессы непрерывных воздействий, которые становятся все слабее и сумма которых дает конечный эффект. Но чтобы полностью раскрыть динамику процесса, необходимо показать, как протекает процесс во времени. Пока рассматриваемые формулы служили только для нахождения конечного результата отдельных стадий процесса, время в явном .виде не вводилось. Однако это необходимо сделать, если мы желаем исследовать динамику процесса регулирования во времени.