§ 1. ДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МУЛЬТИПЛИКАТОРА КЕЙНСА И СХЕМЫ ВОСПРОИЗВОДСТВА
Рассмотрение динамики процессов регулирования мы вновь начнем с анализа формулы Кейнса
Y — ^ _ с А, в которой, как уже говорилось, У обозначает национальный "доход как общую сумму выплат, с есть коэффициент потребления, А — объем независимых капиталовложений.
Формулу, которую Кейнс использовал для выяснения процесса формирования национального дохода как общей суммы выплат в народном хозяйстве, еще до него вывели Р.
Кан и Дж. Кларк. Исследуя влияние общественных работ на национальный доход, они получили ее иным способом, нежели Кейнс. Кан и Кларк рассуждали следующим образом. Производимые в народном хозяйстве независимые капиталовложения А преобразуются в доход (общую сумму выплат) У. Поэтому первоначальный непосредственный эффект (Уо) произведенных капиталовложений (Л) выражается так: Y0 = A. Предполагая, что размеры капиталовложений постоянно поддерживаются на одном уровне А и что уровень потребления завирит от величины дохода, достигнутого в предшествующий период, размер дохода в последующем периоде составляет:Yx = A + cY0 = A + cA = A(l+c), где с — коэффициент потребления.
В свою очередь размеры дохода в следующем периоде составят
Г2 = А + сУг = А(\+с + с*) •
и т. д.
Вообще в t-ом периоде доход составит: Yt = A + Ac+ ... +Act = A{\ + c + c<2+ ... +<?<).
Если предположить, что число периодов t —оо% и учитывая, что 0 < с < 1, в пределе получим
y=ATLF„ (3.1)
то есть известную формулу Кейнса. Мультипликатор 1 __ из-за процедуры его определения нередко называют динамическим мультипликатором.
Из приведенного рассуждения Кана и Кларка, следует, что действие, порожденное независимыми капиталовложениями, вызывает процесс непрерывного роста национального дохода. Сумма эффектов этого процесса при 0<с<1 стремится к конечной предельной величине, определяемой выражением (3.1).
В § 4 предыдущей главы мы получили следующее, выраженное в матричной форме, решение системы уравнений распределения продукции, соответствующее многоотраслевой схеме воспроизводства
х = (/ — А)"1 у.
(3.2)При некоторых условиях обратную матрицу (I — Л)-1 можно представить в виде бесконечного ряда (так называемого ряда Неймана):
(/_ЛГ1 = / + Л4-Л2+ (3.3)
Тогда решение многоотраслевой схемы воспроизводства получает следующий вид:
= (/ + Л + Л2+...){/. (3.4)
Доказательство формулы (3.3) таково. Умножая слева обе части матричного уравнения (3.3) на ма- трицу (/ — Л), получим
(і-А)(І-Л)- = (І-А)(І+А+А*+ ...)
или
/=/-м-м+ ... — Л — Л2—Л — ... .
Отсюда, приведя подобные члены, получаем / = /; следовательно, выражение (3.3) справедливо.
Если ряд Неймана является конечным (І+А + -|-Л2+...+Л™), то
/+л+л2+ ... 7757і -
ибо, как известно, при действиях над матрицами применяются те же правила (кроме коммутативности умножения), что и в алгебре действительных чисел.
Если предположить, что матрица коэффициентов затрат, возведенная в (т+ 1)-ю степень, то есть Лт+1, стремится к нулевой матрице при /л—*со, то матрица (/ — А)~1(1 — Ат) сходится к матрице (/,— Л)-1, если т-> со и правая часть формулы (3.3) имеет конечное значение.
Из условия Лт+1-> 0 следует, что и транспонированная матрица (Л')™4"1-^1. В самом деле, из условия Лт+1->0 при т-^со следует, что все элементы этой матрицы стремятся к нулю. Следовательно, и все элементы транспонированной матрицы стремятся к нулю, и матрица эта стремится к нулевой матрице.
Формула (3.3) служит на практике для вычисления матрицы, обратной матрице Леонтьева, методом последовательных приближений (итераций),например:
(/ — ЛГ^/Ч-Л + Л' + Л*.
Формула (3.4) позволяет найти решения уравнений распределения продукции методом итераций; она дает также возможность определенного экономического истолкования этих уравнений. В самом деле, решение х= (I — А)~ху уравнений распределения продукции, записанное в виде
х = у+Ау+А*у + ... (3.5)
можно интерпретировать следующим образом. Начальный валовой продукт х равняется конечному продукту это означает, что х=у есть первое приближение к решению (3.5).
Однако для производства валового продукта в объеме у необходимы средства производства в количестве Ау. Это в свою очередь требует произвести средств производства в количестве А (Ау)~ =А2у и т. д. %Таким образом, мы получили экономическое истолкование процесса формирования валового продукта в народном хозяйстве. С такой интерпретацией мы встречаемся также в
литературе по пробле мам анализа затрат — выпуска продукции. Решение (3.5) можно истолковать также посредством кибернетической схемы, приводи- Рис. 35. мой на рис. 35. После
первого прохождения величины у по цепи обратной связи к начальному значению у прибавляется величина Ау, которая в свою очередь, вновь проходя через систему обратной связи, возрастает на А(Ау) = =А2у и т. д.
Обратная связь приводит в движение объективный бесконечный процесс, который сходится к конечному пределу, если матрица А обладает тем свойством, что Ат 0 при т -> оо, то есть йогда последовательные приращения конечного продукта Ау, А2у, А3у ... все уменьшаются, пока не затухают Следовательно, необходимо установить условия для которых это свойство справедливо, то есть когда бесконечный ряд (3.3) становится сходящимся и решение уравнений распределения прадукиии может быте представлено в виде формулы (3.4).