§ 6. БЛОЧНЫЕ СХЕМЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Мы уже знаем, что динамика действия мультипликатора Кейнса описывается разностным уравнением
Vt = cYt_1 + A
или, что еще проще, приведенным однородным разностным уравнением
Yt = cYt.lt
где Yt = Yt — ^ А есть величина отклонения от состояния равновесия (возмущение).
Решение последнего уравнения имеет следующий вид:
откуда с очевидностью следует, что система устойчива, если 0<с<1.
Статическое представление мультипликатора Кейнса с помощью блочных схем дано на рис.
39. В данной системе независимые капиталовложения А преобразуются в доход Yu который через потребление посредством обратной связи вновь воздействует на регулируемую систему.В динамике при мультипликаторе Кейнса на вход регулируемой системы воздействует не доход Yt данного года, а доход Yt-\ предыдущего' года. Отсюда следует, что к блочной схеме должен быть подключен дополнительный оператор, задача которого — сдвинуть величину дохода на 1 год назад. Такой оператор (оператор левого сдвига или запаздывания) обозначается символом
С помощью такого оператора разностное уравнение Yt = c"Yt-i+A можно записать следующим образом:
Yt = cE~Yt + A
откуда
(\-cE^)Yt = A
или же
Y, =-—1—А (3.29)
1 —сЕ
Из записи уравнения (3.29) следует, что блочную схему, соответствующую динамической модели Кейн- са, можно изобразить так, как это сделано на рис. 40.
Заметим, что уравнению (3.29) можно придать иной равнозначный вид. Уравнение = + А эквивалентно уравнению
j
Yt+i = cYt+A; исполь- *
зуя оператор Е (оператор опережения), последнее уравнение можно записать так:
Рис.
39.EYt = cYt + A9 откуда
' А (3 30)
Эквивалентность выражений (3.29) и (3.30) можно также проверить алгебраически, умножив числитель и
знаменатель дроби в правой части формулы (3.29) на Е. Умножив, получим 1
ЕА А
Е — ЕЕ'~1с Е — с • то есть правую часть формулы (3.30)
Динамика процесса воспроизводства по Марксу описывается неоднородным разностным уравнением (3.23) xt = acxt-i+ (vt+ntt) или приведенным однородным разностным уравнением (3.27) xf~ acXt-v решение которого имеет вид (3.28) xt = a$Xo- Как известно, 0<ас<1. Уравнение (3.23) с помощью оператора Еможно записать так:
xt = aJETxxt + (vt + щ).
Отсюда
Xf=l -iU"1 {Vt + mt)'
Блочная схема этого динамического процесса показана на рис. 41.
Приведенные разностные уравнения также можно представить в виде блочных схем. Уравнение Yt — *=cYt-1 показывает, что jj системе происходит умножение состояния входа Y*_i на величину с, то есть пропорциональное преобразование. Соответствующая блочнаясхема приводится на рис. 42. В этой схеме обратная связь отсутствует; она заменена эквивалентным последовательным соединением.
Следовательно^динамический процесс, описываемый уравнением__У= сУ*_1 (причем решение последнего есть Г*—c*Y0), можно представить в виде последовательного соединения, состоящего из бесконечного, но счетного множества систем, причем в каждой из этих систем происходит пропорциональное преобразование, заключающееся в умножении входной величины на величину с (см. рис. 43). Поскольку 0<с<1,
97
7 О, Ланге
это преобразование является ослаблением, что обеспечивает устойчивость системы.
Таким же образом можно представить в блочных схемах динамику процесса воспроизводства по Марксу (на основе однородного разностного уравнения xt = ac xt-1). Эти схемы приведены на рис. 44 и 45.
Рис. 44.
Как видно из блочных схем, обратную связь можно заменить эквивалентным ей последовательным соединением.
Назовем операцию по такой замёне редукцией обратной связи. В этом и состоит смысл приведенного разностного уравнения. Как показывают формулы (3.18) и (3.25), оператор обратной связи, который определяет состояние равновесия, исключается при замене исходных величин показателями их отклонения от состояния равновесия. Вследствие этого| Ос | Ол | ite. | |||
| ис | т |
Рис. 45
оператор обратной связи отсутствует в приведенном -разностном уравнении; он заменен последовательным соединением, которое и описывается этим уравнением.