2.4.2. Классификация предикатов

Определение. Предикат Р(х1, х2, …, хn), заданный на множествах М1, М2, …, Мn, называется: тождественно-истинным, если при любой подстановке вместо переменных х1, х2, …, хn любых конкретных предметов а1, а2, …, аn из множеств М1, М2, …, Мn соответственно он превращается в истинное высказывание Р(а1, а2, …, аn); тождественно-ложным, если при любой подстановке вместо переменных х1, х2, …, хn любых конкретных предметов из множеств М1, М2, …, Мn соответственно он превращается в ложное высказывание; выполнимым (опровержимым), если существует, по крайней мере, один набор конкретных предметов, при подстановке которого вместо соответствующих переменных в предикат, последний обращается в истинное (ложное) высказывание.

С точки зрения множества истинности предиката истинны следующее утверждение.

Утверждение. Если предикат Р(х1, х2, …, хn), заданный на множествах М1, М2, …, Мn является тождественно-истинным, то его множество истинности Р+ = М1 ´ М2´ …´ Мn. Если предикат Р(х1, х2, …, хn), заданный на множествах М1, М2, …, Мn является тождественно-ложным, то его множество истинности Р+ = ?. Если предикат Р(х1, х2, …, хn), заданный на множествах М1, М2, …, Мn является выполнимым, то его множество истинности Р+? ?. Если предикат Р(х1, х2, …, хn), заданный на множествах М1, М2, …, Мn является опровержимым, то его множество истинности Р+? М1 ´ М2´ …´ Мn.

Определение. Два n-местных предиката Р(х1, х2, …, хn) и Q(х1, х2, …, хn), заданных над одними и теми же множествами М1, М2, …, Мn, называются равносильными, если набор элементов превращает первый предикат в истинное высказывание Р(а1, а2, …, аn) в том и только в том случае, когда этот набор превращает в истинное высказывание Q(а1, а2, …, аn) второй предикат.

Утверждение о равносильности двух предикатов P и Q символически будем записывать так: P Û Q.

Пример.

Необходимо решить уравнение (или, другими словами, найти множество истинности предиката): 4х – 2 = -3х – 9.

Решение.

Делая равносильные преобразования, найдем множество истинности предиката:

4х – 2 = -3х – 9 Û 4х + 3х = -9 + 2 Û х = -1.

Определение. Предикат Q(х1, х2, …, хn), заданный над множествами М1, М2, …, Мn, называется следствием предиката Р(х1, х2, …, хn), заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех наборах значений предметных переменных на соответствующих множествах, на которых в истинное высказывание превращается предикат Q(х1, х2, …, хn).

Другими словами (в терминах множеств истинности), можно сказать, что предикат Q является следствием предиката Р тогда и только тогда, когда Р+ I Q+.

Теорема. Каждые два тождественно истинных (тождественно ложных)предиката, заданных на одних и тех же множествах, равносильны. Обратно, всякий предикат, равносильный тождественно истинному (тождественно ложному) предикату, сам является тождественно истинным (тождественно ложным) предикатом.

Теорема. Каждый тождественно истинный n-местный предикат является следствием любого другого n-местного предиката, определенного на тех же множествах. Каждый n-местный предикат является следствием любого тождественно ложного n-местного предиката, определенного на тех же множествах.