2.2.2.3. Построение всех тупиковых ДНФ

Определение. Тупиковой ДНФ (ТДНФ) функции f называется такая ДНФ ее простых импликант, из которых нельзя выбросить ни одного импликанта, не изменив функции f.

Теорема. Всякая минимальная ДНФ некоторой функции является ее тупиковой ДНФ.

Для получения МДНФ функции f необходимо построить все ТДНФ функции f и выбрать те из них, которые содержат минимальное число букв.

Алгоритм построения всех тупиковых ДНФ.

Пусть f(x1, x2, …, xn) есть булева функция.

Шаг 1. Построим СДНФ функции f и пусть P1, P2, …,Pn есть ее конституенты (единицы).

Шаг 2. Построим сокращенную ДНФ функции f и пусть К1, К2, …, Кm – ее простые импликанты.

Шаг 3. Построим матрицу покрытий простых импликант функции f ее коституентами единицы (табл. 34), полагая, что

Таблица 34

N	P1	P2	…	Pj	…	Pn
K1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
K2	a21	a22	…	a2j	…	a2n
Ki	ai1	ai2	…	aij	…	ain
Km	am1	am2	…	amj	…	amn

Шаг 4. Для каждого столбца j (1 £ j £ n)найдем множество Ej всех тех номеров i строк, для которых aij=1. Пусть Составим выражение Назовем его решеточным выражением. Это выражение можно рассматривать как формулу, построенную в свободной дистрибутивной решетке с образующими 1, 2, …, m и с операциями конъюнкции и дизъюнкции.

Шаг 5. В выражении А раскроем скобки приведя выражение А к равносильному выражению , где перечислены все конъюнкции элементы ei1, ei2, …, ein которой взяты из скобок 1, 2, …, n соответственно в выражении А.

Шаг 6. В выражении В проведем все операции удаления дублирующих членов и все операции поглощения. В результате получим равносильное выражение С, представляющее собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Пример 38.

Построить все минимальные ДНФ для функции f=1111010010101111.

Решение.

Сокращенная ДНФ для данной функции имеет вид

Строим матрицу покрытий (табл. 35).

Таблица 35

№	Простые импликанты				Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	x4	0000	0001	0010	0011	0101	1000	1010	1100	1101	1110	1111
1	1	1	-	-								+	+	+	+
2	0	0	-	-	+	+	+	+
3	-	0	-	0	+		+			+	+
4	1	-	-	0						+	+	+		+
5	0	-	0	1		+			+
6	-	1	0	1					+				+

Пошагово будем выбирать слагаемые, которые войдут в минимальную ДНФ.

Если слагаемое нами выбрано, то мы помечаем конституенты единицы функции f, которые будут покрыты (по строке). При этом автоматически исключаем из рассмотрения конституенты единицы, которые уже покрыты, но относятся к другим слагаемым сокращенной ДНФ.

Шаг 1. Выбираем слагаемое 1 (табл. 36):

Таблица 36

№	Простые импликанты				Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	x4	0000	0001	0010	0011	0101	1000	1010	1100	1101	1110	1111
1	1	1	-	-								+	+	+	+
2	0	0	-	-	+	+	+	+
3	-	0	-	0	+		+			+	+
4	1	-	-	0						+	+	+		+
5	0	-	0	1		+			+
6	-	1	0	1					+				+

Шаг 2. Выбираем слагаемое 2 (табл. 37):

Таблица 37

№	Простые импликанты				Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	x4	0000	0001	0010	0011	0101	1000	1010	1100	1101	1110	1111
1	1	1	-	-								+	+	+	+
2	0	0	-	-	+	+	+	+
3	-	0	-	0	+		+			+	+
4	1	-	-	0						+	+	+		+
5	0	-	0	1		+			+
6	-	1	0	1					+				+

Шаг 3. Выбираем слагаемое 4 (табл.

38):

Таблица 38

№	Простые импликанты				Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	x4	0000	0001	0010	0011	0101	1000	1010	1100	1101	1110	1111
1	1	1	-	-								+	+	+	+
2	0	0	-	-	+	+	+	+
3	-	0	-	0	+		+			+	+
4	1	-	-	0						+	+	+		+
5	0	-	0	1		+			+
6	-	1	0	1					+				+

Шаг 4. Выбираем слагаемое 5 (табл. 39):

Таблица 39

№	Простые импликанты				Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	x4	0000	0001	0010	0011	0101	1000	1010	1100	1101	1110	1111
1	1	1	-	-								+	+	+	+
2	0	0	-	-	+	+	+	+
3	-	0	-	0	+		+			+	+
4	1	-	-	0						+	+	+		+
5	0	-	0	1		+			+
6	-	1	0	1					+				+

Поскольку все конституенты единицы покрыты, то одна из ТДНФ имеет вид

Поскольку выбор включаемых слагаемых произволен, то функция может иметь несколько ТДНФ.

Для рассматриваемой функции существует еще несколько ТДНФ:

Все найденные ТДНФ являются минимальными ДНФ.

Пример 39.

Построить одну из МДНФ функции f=11100101.

Решение.

Сокращенная ДНФ для данной функции имеет вид

Строим матрицу покрытий (табл. 40):

Таблица 40

№	Простые импликанты			Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	000	001	010	101	111
1	0	0	-	+	+
2	0	-	0	+		+
3	1	-	1				+	+
4	-	0	1		+		+

Шаг 1. Выбираем слагаемое 3 (табл. 41):

Таблица 41

№	Простые импликанты			Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	000	001	010	101	111
1	0	0	-	+	+
2	0	-	0	+		+
3	1	-	1				+	+
4	-	0	1		+		+

Шаг 2.

Выбираем слагаемое 2 (табл. 42):

Таблица 42

№	Простые импликанты			Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	000	001	010	101	111
1	0	0	-	+	+
2	0	-	0	+		+
3	1	-	1				+	+
4	-	0	1		+		+

Шаг 3. Выбираем слагаемое 1(табл. 43):

Таблица 43

№	Простые импликанты			Конституенты единицы функции f
№	x1	x2	x3	000	001	010	101	111
1	0	0	-	+	+
2	0	-	0	+		+
3	1	-	1				+	+
4	-	0	1		+		+

В результате получаем МДНФ:

<< | >>

↑

Источник: Лекции - Дискретная математика. 2016

Еще по теме 2.2.2.3. Построение всех тупиковых ДНФ:

- Аналитическая геометрия - Вариационное исчисление - Векторный и тензорный анализ - Высшая геометрия - Высшая математика - Вычислительная математика - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейное программирование - Математика для экономистов - Математическая логика - Математическая физика - Математический анализ - Пределы - Ряды - Статистика - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Функциональный анализ -

- Архитектура и строительство - Безопасность жизнедеятельности - Библиотечное дело - Бизнес - Биология - Военные дисциплины - География - Геология - Демография - Диссертации России - Естествознание - Журналистика и СМИ - Информатика, вычислительная техника и управление - Искусствоведение - История - Культурология - Литература - Маркетинг - Математика - Медицина - Менеджмент - Педагогика - Политология - Право России - Право України - Промышленность - Психология - Реклама - Религиоведение - Социология - Страхование - Технические науки - Учебный процесс - Физика - Философия - Финансы - Химия - Художественные науки - Экология - Экономика - Энергетика - Юриспруденция - Языкознание -

N	P1	P2	…	Pj	…	Pn
K1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
K2	a21	a22	…	a2j	…	a2n
Ki	ai1	ai2	…	aij	…	ain
Km	am1	am2	…	amj	…	amn

N	P1	P2	…	Pj	…	Pn
K1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
K2	a21	a22	…	a2j	…	a2n
Ki	ai1	ai2	…	aij	…	ain
Km	am1	am2	…	amj	…	amn

N	P1	P2	…	Pj	…	Pn
K1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
K2	a21	a22	…	a2j	…	a2n
Ki	ai1	ai2	…	aij	…	ain
Km	am1	am2	…	amj	…	amn