КАЛЕНДАРНЫЕ ЦИКЛЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДАТИРОВКИ
События далекого прошлого можно правильно сопоставить друг-с другом и упорядочить в единой всемирной истории лишь в случае, если удалось безошибочно установить, когда то или другое из них имело место, т.~е.
если опи были надлежащим образом датированы. Люди поняли это уже давно. И, стремясь передать потомкам логически связный рассказ о своей деятельности, они для датировки событий своей истории использовали все естественные единицы счета времени — год, месяц, педелю, а точнее — календарь, который они, исходя из потребностей ЖИЗНИ И умения, довидили -до *определенного уровня совершенства. Это позволило датировать события не просто «такѳго-то года» - или «такого-то месяца», но поточнее: «такого-то числа месяца», «в такой-то день недели».Однако со временем любой документ подвергался порче, что относится, конечно, и к элементам его датировки —■ номеру года, числам месяцев и т. д. Поэтому, чем больше этих элементов проставлено на документе, тем больше вероятность лого, что он дольше сохранит свою достоверность.
Многообразие элементов датировки
Безусловно, любой элемент датировки легче запомнить и научиться использовать, если он циклический, т. e. если он повторяется через определенный промежуток времени. Такие календарные характеристики, а они как раз и рассматриваются ниже, и были разработаны уже в начале первого тысячелетия нашей эры. Это — круги Солнца и Луны, вруце- лета (воскресные буквы), индикты, эпакты, кон- курренты и др. Составитель того или другого документа, кроме номера года и месяца, иногда указывал еще индикт, круг Солнца и т. д., а иногда —■ лишь эти последние характеристики года или (что еще хуже) всего, одну иа них. И все же благодаря им удалось проверить правильность датировки (или восстановить ее) многих документов, в особенности составленных в странах Западпой Европы.
Учитывая исключительную важность для хронологии всех перечисленных выше календарных характеристик, мы и приводим их в таблицах, а также даем элементарные формулы для их расчета.
Нелишним будет подчеркнуть, что как раз использование на протяжении многих сотен лет таких циклических элементов датировки, как круг Солнца и вруцелето, и содействовало разработке различного ткпа «вечных календарей». Один из них дан в Приложении ІА.
Важным элементом датировки вплоть до последнего времени, в особенности в Заііадііой.Еврогіе, была пасха и связанные с нею «подвижные» праздники. B былое время во многих католических странах от дня пасхи отсчитывали и начало года. Поэтому в кииге о календаре, в особенности если речь идет о проблемах хронологии, вопрос о методах расчета даты.пасхи обойти никак нельзя.
O том, как и когда были введены отдельные упомянутые здесь элементы датировки, речь впереди. Ho для связности дальнейшего взложения их оказалось удобным «вынести» именно в раздел астрономических основ календаря, тем более, что читатель из всего сказанного ранее имеет уже четкое представление о структуре как юлианского календаря, старого стиля (ст. ст:), так и григорианского—нового стиля (н. ст.). Отметим также, что слово «стиль» применяется и в другом смысле: под стилем летосчисления подразумевается определение начала года. B этом смысле оба календаря январские, прш этом «ноаый стиль» в XX и XXI вв. впереди, «старого стиля» на 13 суток.
Отметим еще, что мы ведем счет, годов в «нашей эре» (н. 3.)j_Koropyio под названием эры от. «рождества Христова» ввел в 525 г. римский монах, папский архивариус, скиф по происхождению Дионисий Малый. Для определения кругов Солнца и Луны, вруце- лет и индиктов используется также эра от «сотворения мира», причем существуют два ее варианта, или стиля — сентябрьский с эпохой 1 сентября 5509 г. до π. э. π мартовский с эпохой 1 марта 5508 r. до н. э. Эта вторая эра имеет еще название константинопольской, а такж& древнерусской. Прн переходе от года н. э. R к византийскому году от «сотворения мира> B сентябрьского стиля следует использовать соотношения: в январе — августе B = 5508 + R (в свою очередь R = B — 5508), в сентябре — декабре В — = 5509 + R(R = B — 5509).
Для мартовского стиля в марте — декабре B=5508 + R и в январе — феврале B =5507 + R. Сентябрьский стиль идет впереди мартовского на шесть месяцев. Об истории же их «изобретения» речь пойдет пиже.Солнечный цикл
«...в 9 лето княжения Володимира, купно же от Адама до крещения Рускаго лет 6496, индикта 1, в лето 6497, ключ границ P, круг Солнца 28. вруцелето 3, а Луне круг 17...»[7]).
Так Псковская летопись датирует год крещения Руси (988 г. н. э.). Здесь мы и рассмотрим последовательно все элементы этой датировки, а также свойства упоминающихся циклов.
Через 28 лет. B простом году юлианского календаря насчитывается 365 дней, в високосном 366, причем високосным бывает каждый четвертый год. Полная неделя состоит из семи дней. Какие выводы следуют из сопоставления этих чисел?
Прежде всего 365 = 52X7+ 1, 366 = 52X7 + 2. A это значит, что простой год заканчивается тем же днем недели, которым он начался (скажем, на понедельник приходятся 1 января и 31 декабря). Новый же год, после предыдущего простого, приходится уже на следующий день недели. И если бы високосных годов вообще не было, то распределение дней недели по числам месяцев полностью повторялось бы через каждые семь лет.
B свою очередь, если бы в високосном году дополнительный 366-й день вставлялся в конце декабря, то такое повторение имело бы место через пять или шесть лет. «Индивидуально», для отдельно взятых годов оно примерно так и есть. Достаточно взглянуть сверху вниз на любую колонку «вторые две цифры года» Приложения I, чтобы убедиться в этом. Так, после ііроіізіюлыіо іпитого високосного года, например 64-го (это может быть 1964 или 1864) то же распределение дней недели по числам месяцев было с интервалами в 6 (в 70 r.), 11 (в 81 r.), 6 (в 87 г.) и 5 (в 92 г.) лет. Первые три года были простые (поэтому совпадение дат с днями недели 64-го года было лишь начиная с 1 марта), четвертый — снова високосный (здесь уже совпадение полное). Ho стоящий справа от этого «исходного» — год 65-й простой, поэтому одинаковое распределение дней недели по числам месяцев повторяется здесь в ином порядке—■ через 6, 5, 6 и 11 лет.
Год 66 — второй после високосного, здесь этот ряд будет таким: 11, 6, 5, 6. Для года 67-го — третьего после високосного — находим смену совпадений в таком порядке: 5, 6, 11, 6 лет.И лишь после 28 лет расписание дней недели по числам месяцев — привычный для нас «табель-календарь» — полностью повторяется (от года к году!) в том же порядке, так как 6 + 11 + 6 + 5 = 6 + 5 + + 6 + 11 = 11 + 6 + 5 + 6 = 5 + 6 + 11 + 6 = 28. Следовательно, «табель-календарь» повторится в 64 + + 28 = 92-M году, 65 + 28 = 93-.M, 66 + 28 = 94-M
и т. д. годах.
Промежуток времени, через который распределение дней недели по числам месяцев полностью повторяется, называется 28-летним солнечным циклом. B юлианском календаре имеем
28 юлианских годов == (365,25 X 28 =) 10 227 суток =
= (10 227:7=) 1461 неделе.
Именно потому, что спустя 28 лет «день Солнца» — dies Solis — как важнейший, праздничный день недели возвращается на свое место по отношению к числам календарных месяцев, этот цикл и был назван солнечным.
Заметим, что все сказанное выше о совпадении дней недели и чисел месяцев через 5, 6 и 11 лет для отдельно взятых годов и через 28 лет относится И K григорианскому календарю, однако лишь в пределах того или другого века. Если столетний год простой, то правильность чередования простых и високосных годов, а следовательно, и указанный порядок совпадения «табель-календаря» нарушается.
Поэтому также для юлианского календаря таблицу Приложения I очень легко можно продолжить в прошлое на любое число столетий: в колонках «первые две цифры года» при переходе снизу вверх на одну позицию сотни лет уменьшаются на единицу, а при переходе влево — на семь (за исключением случая от —0 до —6). Датировка же событий по григорианскому календарю (для пего простые столетние годы передвигаются вперед через одну позицию) проводится лишь с момента реформы 1582 г.
Круг Солнца. Порядковое место года в 28-летнем солнечном цикле называется кругом Солнца Q.
Первоначально счет 28-летними циклами вели от 1 сентября или октября (об этом говорит и новгородский ученый XII в.
Кирик в своем «Учении им же ве- дати человеку число всех лет») 5509 г. до н. э. B дальнейшем как в Византии, так и на Руси получил широкое распространение мартовский стиль эры от «сотворения мира». Поэтому и счет солнечных циклов ведется с 1 марта 5508 г. до н. э.Разделив число года эры от «сотворения мира» B на 28, в остатке и находим круг Солнца Q:
Например, 1986 г. н. э.— это (5508+ 1986 =) 7494 г. эры от «сотворения мира». Разделив число 7494 на 28, находим, что от эпохи эры прошло 267 полных 28-летних циклов и в остатке имеем 18. Сле- дователыю, для 1986 г. круг Солнца Q = 18. To же самое получим, разделив на 28 число 1986 — 8 = 1978.
Значения круга Солнца для любого года нашей или византийской эры даны в табл. 5. Нелишне напомнить, что високосным является каждый четвертый год цикла (при Q = 3, 7, 11 и т. д.).
«Числа богов»
Распределение по числам месяцев. Еще в IV в н. э.
в Александрии, по-видимому, из увлечения астрологией, семь букв греческого алфавита Λ, В, Г, Δ, E. Z, IT были расписаны в циклической последовательности по числам месяцев. Они, в частности, проставлены в сохранившейся таблице дат пасхи на 328—373 гг. Александрийский астроном Павел в своем «Введении в астрологию» (378 г.) излагает лаже правила для вычисления этих «чисел богов». Несколько позже они получили и другое название — солнечные эпакты, а на Руси — вруцелетные буквы, но фактически остались числами, так как у многих народов, в частности, у евреев, греков, славян и грузин числа имели буквенные обозначения. Вскоре эти числа стали дополнительными элементами датировки, они оказались исключительно удобными для проведения различных календарных расчетов. Поэтому они перешли и на Русь с тем, однако, что вместо греческих стали использоваться славянские буквы: А, В, Г, Д, E, S и 3.
Поскольку букв использовалось всего семь, а дней в неделе столько же, то в каждом конкретном году при переходе от месяца к месяцу каждая вруцелет- ная буква оказывается как бы жестко связанной с определенным днем неделн. Вруцелетная буква, которая приходится в текущем году на воскресенье, и называется вруцелетом.
Согласно принятому правилу вруцелетные буквы располагали в обратном порядке (А, 3, S, E, Д, Г, В, А) и обозначали ими дни месяцев начиная с 1 марта юлианского календаря: 1 марта — Г, 2 марта— В, 3-е — А, 4-е — 3, 5-е—S, 6-е — E, 7-е — Д, 8-е — снова Г и т. д., как указано в табл. 6. B этой системе счета 29 февраля, как и 2 марта, обозначено буквой В. Смена вруцелет и происходит на грани февраль — март. Другими словами, январь и февраль считаются принадлежащими к предыдущему календарному году.
T а б л и ц а 6. Соотношение между вруцелетиыми буквами и числами месяцев в юлианском календаре
B самом деле, в календарном году содержится 52 педели н один день (в високосном году — два). Поэтому при переходе OT одного года к другому связь вруцелетных букв с днями недели нарушается. Так, в 1-м году константинопольской эры (с эпохой 1 марта 5508 г. до н. э.) 1 марта было пятницей, 2-е — субботой, 3-е — воскресеньем. Следовательно, вру- целето 1-го года этой эры было Г. Ho на пятницу придется и 28 февраля 1-го года, поэтому 1 марта
2- го года будет уже субботой, 2-е — воскресеньем. A так как 2 марта соответствует вруцелетная буква В, то она и будет вруцелетом этого года. Вруцелетом
3- го года эры от «сотворения мира» будет Г (1 марта—воскресенье). Ho в счете годов по этой эре тре- тпй (потом 7-й, 11-й и т. д.) год високосный, так что он закапчивается 29 февраля — понедельником,
4- й же год начинается со вторника, а первое в году воскресенье приходится на 6 марта, с которым «навсегда» связана вруцелетная буква .E. Поэтому вруцелетом 4-го года константинопольской эры и была буква E.
Как определить вруцелето? Как видно, в ряду вруцелетных букв А, 3, S, E, Д, Г, В, A вруцелета передвигаются влево на одну позицию после простого и на две — после високосного года (с началом года 1 марта!). Смена вруцелет йолностью повторяется через 28 лет. A это значит, что между вруцелетом и кругом Солнца имеется вполне определенная зависимость. Она и отображена в табл. 7, где каждому из вруцелет приписан еще и порядковый номер — числовое значение от A = 1 до 3 = 7.
T а б л и ц а 7. Вруцелета
Если круг Солнца Q известен, то вруцелето W может быть найдено по такой элементарной формуле:
+ 4 = 8(—7) = 1, τ. e. А. Таким образом, воскресеньем будет 3 марта 1986 г. по юлианскому календарю (16 марта н. ст.).
Вруцелета для годов нашей и константинопольской эры даны в табл. 8.
T а б л и ц а 8. Вруцелета
Вечный «табель-календарь». Итак, если вруцелето данного года установлено, то тем самым уже будет известным распределение дней недели по всем числам месяцев. Это отображено и в табл. 6: для использования ее в качестве календаря достаточно изготовить отдельный столбик «дни недели» и передвигать его вертикально, устанавливая «воскресенье» в одном ряду с вруцелетом года для каждого календарного месяца в отдельности.
День недели q, приходящийся на определенное число месяца с соответствующей ему вруцелетной буквой Б при известном вруцелето года W определяется и по следующей формуле:
q = W — Б
— день недели = вруделето года — вруцелетная буква заданного числа месяца. Здесь принимается, что нумерация дней недели начинается с понедельника: понедельник = 1, вторник = 2, ..., воскресенье = 7.
Например, пас интересует, ua какой день недели пришлось 1 апреля 1250 г. Из табл. 6 и 8 находим соответственно, что 1 апреля соответствует вруцелетная буква 3 (=7), а вруцелето 1250 г. — E ( = 5). Так как 10 (z-lQ) апреля ст. ст. Тем самым упрощается и расчет других связанных с пасхой дат.
Например, дата уже упомянутой недели «мытаря и фарисея» определяется как 10 января + z ;(в високосном году —11 января + z), «троица» — 9 мая + z и т. д. Знаниечисла 2 позволялоустанавли- вать и контролировать дни педели, приходящиеся на отдельные церковные праздники, а тем самым и на другие календарные числа. Например, день недели, на которую пришлось в каком-то году с известным z «благовещение» (25 марта) определяется как
3. Уже в V в. н. э. было составлено расписание новолуний па 19-лстпніі лунный цикл (см. Приложение II), которое и используется неизменно до сих пор для определения пасхальных фаз Луны. Ha этой основе уже было нетрудно рассчитать и даты весенних полнолуний для каждого круга Луны, они-то и приведены выше в табл. 9. Дата пасхи устанавливалась элементарно в два приема:
а) Сначала определялось место, которое занимает данный год в 19-летнем лунном цикле, т. e. его круг Луны L и тем с.амым по табл. 9 — дата весеннего полнолуния для этого года.
б) рассчитывался круг Солнца Q и находилось вруцелето W даииого года, в результате чего и устанавливалось, па какой день недели пришлось это полнолуние. После этого находилась дата ближайшего за ним воскресенья — пасхи.
Сказанное дало возможность сопоставить даты пасхи (и соответствующие им ключи границ) с кругами Луны и вруцелетами, как это показано в табл. 12. Из нее находим, что при упомянутом в Псковской летописи ключе границ P пасха приходится иа 8 апреля, чему соответствует вруцелето 3 и круг Луны 17. Как видим, все эти элементы датировки в данном примере полностью согласуются друг с другом. Из табл, 5 и 10 находим, что как
Таблица 12. Соответствие дат пасхи ключевым буквам, вруцелетам и кругам Луны (м — марг, а — апрель)
круг Луны L, так и круг Солнца Q соответствуют году «от Адама» 6496.
Теперь можно установить и смысл данных в табл. 9 исправных букв. Это ключи границ, приходящиеся на числа месяцев, которые в данном году следуют сразу же после полнолуния (на следующий день!). Они указывают дату «ущерба» (фазу Луны «полнолуние плюс один день») и дают в соответствии с табл. 12 наиболее раннюю дату, на которую (если «ущерб» приходится на воскресенье) в данном году может выпасть пасха. Определение исправной буквы года — одна из основных задач календарных расчетов, которые проводились на Руси на протяжении многих веков (см. с. 263). Излишне подчеркивать, что ее расчет имел и самостоятельное значение, ведь ею определяется дата весеннего полнолуния!
Отметим, что через 19 X 28 = 532 года фазы Луны (расчетные!) и дни недели приходятся на те же числа месяца. Поэтому черезкаждые 532 года полностью повторяются и даты пасхи. Этот промежуток времени был назван вс.шким ииОиктиопом. Индик- тпопы было принято отсчитывать от начала византийской эры. B частности, 12-й великий индиктион начался в 345 r., 13-й — в 877 r., 14-й — в 1409 r., 15-й великий индиктион начался в 1941 г.
Формулы Гаусса. Возможности сопоставления и проверки многих документов и летописных датировок значительно возросли после того как выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) вывел формулы для непосредственного определения дат христианской и еврейской пасхи. B частности, по формулам для еврейской пасхи с высокой точностью устанавливается дата истинного (астрономического) весеннего полнолуния, что позволяет проверить — могло быть или нет в указанное летописцем время, скажем, солнечное или лунное заг- мение и др. Об этих формулах речь пойдет далее (с. 176).
Схема расчета даты католической пасхи выглядит так. Разделив сначала число года R на 19, 4 и 7, иолучасм соответственно остатки a, b и с. Далее находим величину I9a + x, делим ее на 30 и остаток обозначаем d. Послс этого составляем сумму 2b +] + 4c + 6d + i/ и делим cc па 7, остаток обозначаем через e. Пасха будет 22 + (d + e) марта н.. ст. пли,
если d + e больше 10, (d + e)-9 апреля н. ст. Величины X и у равны соответственно
Пределы здесь те же, что и в православной пасхалии — с 22 марта по 25 апреля (однако — нового стиля!). При этом формулы предусматривают два исключения: 1) если (d + e)— 9 = 26 апреля, то пасха переносится на 19 апреля (это относится к годам 1609, 1981, 2076 и 2133), и 2) если d = 28 и e = 6, так что (d + e)— 9 = 25, то пасха переносится на 18 апреля (такое случилось в 1954 г. и будет в 2049 и 2106 гг.).
Расчет даты православной пасхи проводится по той же схеме, но нрп постоянных значениях величин X и у: x= 15 и y = 6. Результат получается в датах по ст. ст.
Отметим, что остаток d определяет число дней, на которое в R-м году пасхальное полнолуние отошло от своего предела — 21 марта, величина (е+1)— число дней от пасхального полнолуния до первого после него воскресенья. Остаток от деления величины 5b + Зс + 4 на 7 определяет вруцелето года.
Рассчитаем теперь дату пасхи на 1411 r., когда «на вербницу» была дана упомянутая выше жалованная грамота. Разделив 1411 на 19, 4 и 7, находим остатки а = 5, b = 3 и с = 4. Составляем величину l9a + 15 = 110 и делим ее на 30, в остатке получаем d = 20. Далее находим величину 2b + 4с + 6d + 6 = = 2X3 + 4X 4 + 6X 20 + 6= 148 и, разделив ее на 7, находим в остатке e= 1. Следовательно, пасха в 1411 г. приходилась на (d + e)— 9 = (20 + 1) —- — 9 = 12 апреля ст. ст.
Вывод и объяснение отдельных этапов формул Гаусса даны в статье Г. Кннкелина[9]).
Эпакты и конкурренты
По-видимому, из-за того, что при написании чисел римскими цифрами очень легко допустить ошибку, западноевропейские историки и вычислители («ком-
путисты») разработали целый «набор» разнообразных календарных характеристик, которые широко использовались при датировке документов. Вот три характерных примера.
Первый — акт от 15 сентября 1011 г. «от воплощения Господа нашего Ис. Хр.» датирован так: anno ab incarnatione Dom. nostri I. Ch. MXI, indictione IX, littera VII, Iuna XIV, XVII Kal. Octobr.
Далее, грамота из Лионского епнскопства от 11 марта 1134 r.: Die dominico... V idus Martii, Iuna decima secunda, anno ab incarn. Dom. millesimo cente- simo trigesimo quarto, indict. VII, epacta XXIII, con- currente VII.
И еще одна датировка: a. d. inc. 1223, epacta XXVIII, concurrente VI, indictione XII.
Bce элементы датировки основаны на календарных циклах, которые мы и рассмотрим в этом разделе.
Как и на Востоке. Солнечный цикл, золотое число и индикт — эти элементы датировки по свосГі природе тождественны с темп, которые пспользоиалнсь на христианском Востоке — и Впзаптпп и па Руси. Некоторое различие имеется в «точках отсчета» и обозначениях.
Как и на Востоке, упомянутые выше циклы сначала отсчитывались в эре от «сотворения мира». По одному из вариантов ее эпоха была отнесена на 4713 г. до н.э. Поэтому число «года мира» M — An- nus Mundi находим по формуле Ai = 4713 + 7?, где R — номер года н. э.
Западноевропейский круг Солнца, точнее «солнечный цикл» (cyclus solaris — CS), определяется как остаток от деления числа «года мира» на 28:
Однако эра года мира в позднем средневековье практически не использовалась, так как Западная Европа, начиная уже с VII в. довольно быстро перешла на счет лет от «рождества Христова». Поэтому солнечный цикл обычно находился при делении на 28 числа года н. э. R, увеличенного на 9:
B частности, для 1986 г. имеем CS = 7 (VII). Следовательно, по отношению к восточному кругу Солнца Q западноевропейский солнечный цикл отставал на 11: CS = Q — 11.
Золотое число (numerus aureus — АЛ) — номер года в 19-летием лунном цнкле (cyclus lunaris) определяется в результате деления на 19 года мира M пли увеличенного на 1 числа года и. э. R:
Для того же 1986 г. находим NA — 11 (XI). Ранее уже отмечалось, что золотое число года на 3 больше круга Луны: NA = L + 3.
Очевидно, что поскольку переход от кругов Солнца Q к западноевропейским солнечным циклам CS и от кругов Лупы /, к золотым числам NA элемента- реи, здесь пет необходимости приводить таблицы, по которым они определяются для любого года и столетия. Для этого достаточно взять числа из табл. 5 и 10 и сделать соответствующую поправку.
Эпоха эры года мира M такова, что числовое значение индикта в Западпой и Восточной Европе было одинаковым:
Для 1986 г. имеем / = 9 (IX).
Проставляя в скобках все характеристики года римскими цифрами, мы напомнили читателю, что именно в таком виде и приводились они на всех документах. Таблица индиктов уже приведена ранее.
Воскресные буквы. Дни года, начиная с 1 января и по 31 декабря, средневековые «компутисты» обозначили циклично семыо латинскими буквами А, В, С, D, E, F, G, получившими название календарных букв (litterae calendarum). «Привязка» букв к числам месяцев проведена в прямом порядке: 1 января — А, 2-е — В, 3-е — С, 4-е — D, ..., 8-е — А, 9-е — B и т. д. B итоге на первые числа месяцев приходились следующие буквы:
Календарная буква, на которую в текущем году приходилось воскресенье, получала название воскресной буквы этого года (1 ittera dominicalis — LD). Очевидно, что роли воскресных букв и вруцелет тождественны. Однако вруцелето использовалось в мартовском году, в котором дополнительный, 366 день года вставлялся в самом его конце. Поэтому такая вставка приводила лишь к тому, что в ряду вруцелет происходил переход на две (вместо одной) позиции. Так, вруцелето 1983 мартовского юлианского года было Д, 1984—-S.
B календаре же январского стиля високосный год имеет две воскресные буквы. Первая — «очередная» — указывает дату воскресенья от 1 января до 29 февраля, вторая из ряда календарных букв (записанных в обратном порядке: A, G, F, E, D, С, В, А) —с 1 марта по 31 декабря.
Таблица 13. Расположение воскресных букв и кснкуррент в 28-летнем солнечном цнкле
Для примера определим, на какой день недели пришлось 11 марта 1134 г. Прибавив к чпслу года 9 π разделкв на 28, находим в остатке солнечный цикл CS = 23. Из табл. 13 следует, что воскресная буква 23-го года G, которая в марте приходится на 4, 11, 18 и 25 числа. Следовательно, 11 марта 1134 г.— воскресенье.
B средневековых документах часто вместо воскресной буквы указывалось ее порядковое число в ряду календарных букв: A — littera I, B — litte- ra ΪΙ, C — littera III, D — littera IV, E — littera V, F — littera VI и G — littera VII.
Воскресная буква G и «зашифрована» как «littera VII» в акте от 15 сентября 1011 г.
Конкурренты. Две из приведенных выше датировок содержат мало известный у нас элемент — конкур- ренту. Между тем конкурренты, или солнечные эпак- ты (concurrentes septimanae, epactae solis-ES) широко использовались начиная с VIII в. для отождествления календарной даты с днем недели. Первым, но отнюдь не главным назначением конкурренты было указать день педели, на который в том или другом году приходилось 24 марта: при конкурренте 1 это воскресенье, 2 — понедельник, 3 — вторник, 4 — среда, 5 — четверг, 6 — пятница и 7 — суббота.
Распределение конкуррент по годам солнечного цикла дано в табл. 13. Как видно, между воскресными буквами и копкуррентамп имеется однозначная связь: F = 1, E = 2, D==3, C = 4, B = 5, A = 6 и G = 7. Это понятно. Если воскресной является, например, буква G, то 24 марта приходится иа субботу и т. д. B високосном году для января — февраля следует брать конкурренту, соответствующую первой воскресной букве, т. e. на единицу меньше указанной в таблице.
Возьмем к примеру 1340 г. Его солнечный цикл CS- 5. Из табл. 13 видно, что конкуррентой этого года (солнечной эпактой) было число 6 (воскресная буква для марта—декабря — А). Следовательно, 24 марта 1340 г. приходилось иа пятницу.
Однако основная роль солнечных эпакт (конкуррент) заключается в следующем. Солнечная эпак- та — это число, указывающее, па сколько позиций в конкретном году солнечного цикла с номером CS (или Q для византийского счета) день недели, рассчитанный на определенную календарную дату, продвинулся в п e p e д по сравнению с исходным («нулевым») годом цикла. Очевидно, что при расчете солнечных эпакт необходимо принимать во внимание положение високосных годов в 28-летнем солнечном цикле.
Как уже отмечалось, в западноевропейском 28-летнем цикле високосными являются 1-й, 5-й, 9-й и т. д. годы. Поэтому с 1 марта 1-го года цикла происходит сдвиг дней недели на две позиции по сравнению с последним годом цикла. Это снова произойдет в 5-м и т. д. годах. Таким образом, солнечную эпакту года, имеющего в 28-летнем цикле номер CS, можно определить по такой несложной формуле:
При этом в январе — феврале високосного года величина ES на единицу меньше, чем это следует из формулы.
B византийском 28-летнем цикле високосными являются 3-й, 7-й и т. д. мартовские годы или 4-й, 8-й, 12-й, ... годы январского стиля. Поэтому при расчете солиечиых эпакт здесь иеобходпмо исиользовать несколько другую формулу:
Примечательно, что распределение солнечных эпакт по годам зависит от того, каким циклом пользуется вычислитель. B случае восточного цикла их ряд выглядит так: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 1, 3,... (как в табл. 7 вруцелетІ), в западном цикле имеем 1, 2, 3, 4, 6, 7, 1, 2, 4, ... Это различие обусловлено тем, что начала циклов смещены друг относительно друга (Q = !() дату. B свое время эта задача п была решена па основе перечисленных выше календарных циклов. Состоит опа как бы из двух измерений. «По горизонтали» необходимо установить соответствие' дней недели числам месяцев на протяжении определенного календарного года. «По вертикали» следует находить изменения в упомянутом распределении при переходе от года к году, от века к веку.
Построение «вечного календаря» осуществляется двумя путями: с помощью вруцелетных (по западноевропейской традиции — календарных) букв и путем использования месячных коэффициентов.
C помощью вруцелет. Выше уже отмечалось, что семь вруцелетных (календарных) букв как бы «навечно» расписаиы в циклической последовательности по числам календарных месяцев (см. табл. 6). Поэтому, если только найден день недели, приходящийся хотя бы на одну календарную дату заданного года, т. e. если хотя бы одна вруцелетная буква сопоставлена с днем недели, то TCiM самцм, в соответствии с табл. 6, становится извсстпоп смопа дней недели для всего года.
Для юлианского календаря смена вруцелет на протяжении 28-летнего солнечного цикла приведена в табл. 7 (соответственно западноевропейских воскресных букв — в табл. 13), а их значениедлякаждого конкретного года константинопольской и нашей эрЫ — в табл. 8. Составить первую, как мы видели, было не
трудно. При рассмотрении второй следует вспомнить, что в 100 юлианских годах насчитывается 36 525дней или 5217 недель и 6 дней. Следовательно, в каждом последующем веке, скажем 1 марта, а в общем все числа месяца, приходятся на один день раньше, чем в соответствующем году предыдущего века. B свою очередь 700 юлианских лет — это 255 675 дней или 36 525 недель или же 25 полпых 28-летиих циклов. Отсюда следует, что распределение вруцелет по датам юлианского календаря через каждые 700 лет полностью повторяется. Расписав же вруцелета внутри одного века, нетрудно составить такую же таблицу и для всех остальных: при увеличении числа веков на единицу (т. e. при перемещении в табл. 8 вверх на одну позицию) необходимо в ряду вруцелетных букв сдвинуться на одну позицию влево, осуществляя также циклический переход от 7-й, верхней, строки табл. 8 к 1-й, нижней.
ответствующее тому или другому вруцелету, и присоединить его к табл. 8, как это видно, например, из табл. Приложения ІА. Конечно, над составлением такого вечного календаря потрудилось несколько поколений вычислителей, но результат, как видим, получился неплохим. K тому же неугомонные изобретатели обнаружили, что вместо вруцелетных букв можно использовать те же дни недели, а это сделало таблицу еще компактнее. Описание целого набора «вечных календарей» этого типа читатель может пайти в книге А. В. Буткевича и M. С. Зеликсо- iia «Вечные календари» (M.: Наука, 1984).
Таблица Приложения IA в равной мере используется и для определения дня недели по датам григорианского календаря. Поэтому здесь уместно напо- мішть, что 400 лет этого календаря содержат 146097 суток, т. e. ровно 20 871 неделю. B итоге цикл нруцелст, а следовательно, и расписание дней недели по числам месяцев в этом календаре повторяются через 400 лет. B этом промежутке времени в каждом м.і трех исков содержится по 5217 педель и 5 дней, и четвертом — 5217 педель п 6 дней. A этозначит.что
после века, закончившегося високосным годом (1600, 2000 гг.), и двух следующих после него в ряду вруце- летных букв происходит перемещение на две позиции назад. И лишь благодаря включению 366-го дня в конце февраля очередного високосного столетнего года (а смена вруцелет происходит с 1 марта) перемещение вруцелет для этого векового года осуществляется на одну позицию влево.
Кстати, из-за такого «поведения» вруцелет 1 января 1 года нового века в григорианском календаре приходится лишь на один из четырех дней недели: на понедельник (1601, 2001 гг.), субботу (1701, 2101 r.), четверг (1801, 2201 гг.) и вторник (1501, 1901 гг.).
Ha основе месячных коэффициентов. Выше уже были изложены основные ирііпцпиы построения «вечного календаря» с помощью месячных коэффициентов, являющихся суммой солнечной эпакты для соответствующего года и регуляров — установленного на начало каждого месяца сдвига дней недели, накапливающегося от месяца к месяцу на протяжении года. Еще раз напомним, что решением Международного бюро стандартов (резолюция № 2014) первым днем недели принято считать понедельник, поэтому дни имеют соответствующее численное обозначение: пн — 1, вт — 2, cp — 3, чт — 4, пт — 5, сб — 6, вс — 7.
Как уже отмечалось, начала и византийского и западноевропейского солнечных 28-летних циклов смещены относительно эпохи и. э. Это, конечно, не создает затруднений прн расчете месячных коэффициентов «вечного календаря», однако гораздо привычнее вести счет годам по столетиям, тем более, что формулы (I. 1) — (I. 5) легко переписываются в виде, полностью пригодном для счета лет начиная с 1 г. н. э. Отправляя читателя за подробностями к статье И. Я. Голуба и Л. C Хренова[10]), ограничимся здесь лишь основными элементами теории.
Прежде всего, так как вставка 366-го дня производится в начале 4-го, 8-го и т. д. годов, то формула для расчета сдвига дней недели от года к году запишется в том же виде (1.2). Однако вместо номера года в 28-летнем цикле Q следует использовать по-
рядковый номер года н. э. R. Исключая из этого чис- йа множители, кратные 7, нетрудно вместо (I. 2) получить следующее выражение:
Здесь Г — порядковый номер года в текущем веке, C — число полных прошедших веков. Если E примет отрицательное значение, сго необходимо заменить дополнением до модуля 7 (например, вместо —5 принять +2 и т. д.).
Очевидно, что для каждого конкретного года месячные коэффициенты K (см. формулу (I.5)) имеют вполне определенное значение. Иначе говоря, в соотношениях типа (1.3) или (1.4) сумма ES^-RS остается постоянной независимо от выбопа начала счета
B скобках указаны их соответствующие значения для високосного года.
Итак, день недели в юлианском календаре определится по формуле
к величине сдвига дней между новым и старым стилями (см. табл. 29), чтобы получить полные семидневки. Так, для XVI в. имеем P = 4, далее для XVII, XVIII, XIX, XX, XXI и XXII вв. P равно соответственно 4, 3, 2, 1, 1 и 0. Определить P можно по формуле, предложенной И. Я. Голубом и Л. С. Хреновым:
Таким образом, для григорианского календаря вмссто выражения (I. 7) имеем
Определим день педели, приходящий иа 1 января 1987 г. Предварительно паходим, что для этого года £ = 5. Далее для япнаря NU = 4, здесь также P = 1 и D = 1. После подстановки этпх величин в (1.9) находим q = 4 — четверг.
Заслуживает внимания разрыв в течении лет «на рубеже» веков, чем таблица месячных коэффициентов и отличается от такой же таблицы для юлианского календаря. Если вековой год — простой, то в 28-летнем цикле он не может занять место, непосредственно следующее после 99-го. Ведь предыдущий (100 — 28 =) 72-й год был високосным, и при переходе от февраля к марту в нем коэффициент M1- увеличился на 1. C другой же стороны, годичная поправка (солнечная эпакта) E при переходе от года 99-го к году вековому увеличивается на 1. Поэтому вековой год сдвигается вперед на X позиций,
средственно после второго високосного, так как приемлемым значением для X оказывается X = 6. B табличке, расписанной на 28 лет, вековой год становится около 77 года. B свою очередь 01-й год нового века должен быть первым перед 4-м, високосным годом. A это значит, что эпакта при переходе от года 00 к году 01 должна также увеличиться на 1. Из аналогичного записанному выше условия находим сдвиг года 01 вперед на величину X = 12: началу очеведно- го века соответствуют те же Ki, что и году 89-му века предыдущего. Однако в случае, когда вековой
IU
год високосный (как 2000-й), этого разрыва в течении годов не будет.
Часть «вечного календаря» с месячными коэффициентами дана в Приложении ІБ, а подробный обзор различных вариантов таких календарей имеется в уже упоминавшейся книге А, В. Буткевича и M. С. Зеликсона. Приходится присоединиться к словам ее авторов о том, что количество вариантов решения самой сложной задачи действительно не может быть бесконечно большим и что изобретателям новых «вечных календарей» прежде всего следует тщательно проанализировать имеющиеся решения...