3.2. Определение вероятностных характеристик развития комплекса предприятий автомобилестроения

Ранее мы определились, что рассматриваемое нами функционирование системы можно условно отнести к марковскому процессу. Поэтому для дополнения метода прогнозирования развития комплекса предприятий, приведенного в главе 2, будем применять разработанную вероятностную модель, приведенную в подразделе 2.4, основываясь также на модели, приведенной в работе [87].

Управляющий граф содержит несколько концевых вершин (т.е. конечное состояние - достижение того или иного состояния), которые характеризуются тем, что из них не выходит ни одна дуга. Чтобы получить модель для описания распределения вероятностей достижения системой значений управляющих показателей, к каждой из этих концевых вершин добавляется дуга, которая означает переход от концевой вершины к самой себе с вероятностью 1 (рис. 3.1а, рис.3.16).

Здесь вершина Ъ\ управляющего графа представляет собой начальные диагностические данные комплекса предприятий - это начальные значения прибыли и затрат, начальные темпы прироста прибыли и затрат, а также соответствующие им значения управляющих параметров факторов самоорганизации.

Вершина Z2 является неким переходным состоянием, задача ее очень важна, так как она определяет промежуточные значения системы и может позволить вернуться к исходному состоянию или же к конечной вершине Z4.

а) вид управляющего графа факторов самоорганизации комплекса предприятий автомобилестроения

комплекса предприятий автомобилестроения Рисунок 3.1.

Диагностические данные рассматриваемого комплекса в конечных вершинах предлагается определять путем решения систем дифференциальных уравнений (2.5) или (2.6) в зависимости от начальных значений (т.е. вершины графа Z]).

Pjj — это значения матрицы переходных вероятностей, т.е. вероятности перехода системы к одному из конечных состояний под воздействием каких-то управленческих решений.

Ищем распределение вероятностей достижения того или иного конечного состояния после неограниченного числа шагов. Получаем распределение вероятностей в виде:

В данном случае, когда управляющий граф связен и всем вершинам приписаны положительные переходные вероятности, такой предел существует.

Переходные вероятности для управляющего графа (рис. 3.16) задаем в виде стохастической матрицы Р , которая в данном случае имеет вид:

Для вычисления степени преобразуем данную матрицу к виду:

Пусть есть матрица-строка, у которой координата qt задает вероятность того, что на t-ом шаге выбирается состояние Z\. Пусть d; - время, в течение которого процесс пребывает в состоянии zi} или, по-другому, средняя продолжительность состояния управляющих параметров по варианту, соответствующему состоянию z;.

Пусть d - (db dN) - матрица-строка времен пребывания, причем предполагается, что dj=0, если Zi - конечное состояние. Нулевое время пребывания приписывается конечным состояниям в связи с тем, что по достижении конечного состояния на каждом последующем шаге происходит переход снова в это же состояние. Далее, число

(1, 0, 0, ..., 0)PTdT (3.7)

представляет собой время, которое в среднем затрачивается на i-ом шаге (через d обозначается матрица-столбец, транспонированная к d). Среднее значение dg общего времени достижения какого-либо конечного состояния получается

как предел:

1 ' ' ,г АТ

de= lim X(lA0.-,0)Prd1 (3.8)

& t—»co r_j 4 ' (3.9)

При указанных предположениях этот предел существует: lim X (1Д...,|0)Q4JrQdT - lim fflA.^OjQ^f i Jr1qdT

Kl=l

/

t~>aor_i t—КО Для всех компонент, которые не соответствуют конечным состояниям, существует предел, для конечных состояний соответствующие компоненты в d равны 0, так что существование записанного предела гарантированно. В нашем случае имеем:

Если ставится задача знать не только среднее значение времени достижения какого-либо конечного состояния, но также и распределение вероятностей для общего времени нахождения комплекса предприятий в различных состояниях vg(t), то нужно использовать более тонкую модель. А именно, надо привлечь функции распределения Vi(t) времени пребывания в различных состояниях. Так как Z3 и Z4 являются конечными состояниями, то

v3(t)=v4(t)-0.

Для распределения общего времени работы vg(t) имеем:

Vg(t)-q13(t) + qi4(t) (3.12)

Величины qjj(t) определяются с помощью следующей системы интегральных уравнений:

матрица-строка d = (db ..., dN) среднего времени пребывания в различных состояниях;

матрица-строка b = (Ьь bN) средней загрузки оборудования для каждого состояния.

Искомое среднее значение В получается как скалярное произведение: N

(3.24)

В=1Ь.а i=l 1 1 где ai - коэффициент, определяющий «долю» состояния Z; в общем времени работы.

где qi - вероятность, с которой состояние Zj участвует в процессе.

Рассмотрим теперь так называемое стационарное распределение q = (qi, ..., Ям). Удалим из нашей модели все конечные состояния, а все дуги, которые первоначально вели к некоторой концевой вершине, «приведем» в начальную вершину (рисунок 3.2).

Пусть Р - матрица переходных вероятностей для полученного таким образом графа, она имеет вид:

Р= Pl3 р12 1 0

Тогда для стационарного распределения имеем:

f * Л

1 Р12

4 [l + P12'l + P12/

Отсюда получаем:

Рисунок 3.2. Модифицированный управляющий граф

Таким образом, с помощью построенных стохастических моделей состояния управления развитием комплекса предприятий мы определили:

вероятности достижения того или иного состояния управляющих параметров и соответственно траектории развития;

среднее значение времени достижения какого-либо конечного состояния при заданных внешних условиях, а также распределение вероятностей для общего времени достижения любого конечного состояния;

среднее значение и дисперсию загрузки оборудования.

При наличии необходимых экспертных оценок или статистической базы данных рассчитать данные вероятности и указанные параметры не представляет практических трудностей. С помощью данных расчетов и определенных желаемых значений управляющих параметров можно вырабатывать комплекс управленческих решений для корректировки тенденций развития комплекса предприятий с целью достижения желаемой траектории развития.