Функциональный анализ. Лекции. 2017

| >>

↑

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества

2. Топология и топологическое пространство. База топологии

3. Структура открытых множеств и окрестности

4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств

5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве

6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества

7. Сепарабельные топологические пространства

8. Индуцированные топологии и фактортопология

9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм

10. Компактные пространства

ГЛАВА 2 СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства

2. Теорема о пополнении метрического пространства

3. Критерий полноты пространства

4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа

5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела

6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность С[0, 1]

7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией

8. Принцип сжимающих отображений и его применение

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

ГЛАВА 3 МЕРА И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА

1. Системы множеств

2. Системы множеств в евклидовом пространстве

3. Функция множеств

4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве

5. Внешняя мера

6. Измеримые множества

7. Мера Лебега на Rn

ГЛАВА 4 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

1. Измеримые функции и их свойства

2. Сходимость почти всюду

3. Сходимость по мере и ее свойства

4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере

5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина

ГЛАВА 5 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой

2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции

3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае

4. Предельный переход под знаком интеграла

5. Сравнение интегралов Римана и Лебега

6. Заряды. Теорема Радона—Никодима

7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини

ГЛАВА 6 НОРМИРОВАННЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства

2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.

3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.

4. Ортогональность и ортогональное дополнение

5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы

ГЛАВА 7 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.

2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов

3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости

4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении

ГЛАВА 8 7ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха

2. Сопряженные пространства

3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций

4. Пространства Лебега и сопряженные к ним

5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.

6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.

7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора

ГЛАВА 9 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ

1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта

2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора

3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.

4. Резольвента и спектр оператора. Линейная независимость собственных векторов. Спектр вполне непрерывного оператора (конечномерность собственного подпространства, конечное число собственных значений вне круга)

5. Существование собственного значения у вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. Наибольшее и наименьшее собственные значения. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении по собственным векторам

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Книги и учебники по дисциплине Функциональный анализ:

Шпаргалка по курсу Функциональный анализ - 2017 год

- Аналитическая геометрия - Вариационное исчисление - Векторный и тензорный анализ - Высшая геометрия - Высшая математика - Вычислительная математика - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейное программирование - Математика для экономистов - Математическая логика - Математическая физика - Математический анализ - Пределы - Ряды - Статистика - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Функциональный анализ -

- Архитектура и строительство - Безопасность жизнедеятельности - Библиотечное дело - Бизнес - Биология - Военные дисциплины - География - Геология - Демография - Диссертации России - Естествознание - Журналистика и СМИ - Информатика, вычислительная техника и управление - Искусствоведение - История - Культурология - Литература - Маркетинг - Математика - Медицина - Менеджмент - Педагогика - Политология - Право России - Право України - Промышленность - Психология - Реклама - Религиоведение - Социология - Страхование - Технические науки - Учебный процесс - Физика - Философия - Финансы - Химия - Художественные науки - Экология - Экономика - Энергетика - Юриспруденция - Языкознание -