Теоретическое описание скоростного режима вихревой зоны движения смеси

При описании скоростного режима движения смеси в вихревой зоне движения частиц материала будем исходить из предположения, что квадрат скорости движения частиц является постоянной величиной, т.е.:

а изменение вектора скоростипроисходит только по направлению.

Введем согласно рис. 4, в нижней части воронки декартовую систему координат XYZс центром на оси вращения. Положение вектора скорости согласно (2.50) в пространстве вихря однозначно будет задаваться угламии

- отсчитывается от положительного направления оси Z, а -_r- от положительного направления оси X). При таком определении вектора проекции скорости ~ на оси декартовой системы координат будут иметь следующий вид:

Рисунок 2.4. Расчётная схема выбора системы координат для определения энергии вихревого движения смеси материала

Энергию вихря запишем в следующем виде:

гдеплотность энергии вихря, отнесенная к единице объема,

величина которой определяется соотношением:

50

здесьоператор Набла, равный:

а коэффициент а, на основании соображений размерности, можно принять равным:

где R_o- параметр, имеющий физический смысл радиуса вихря в его верхней части;

т -масса вещества, участвующего в вихревом движении.

или с учетом (2.38)

Будем считать, что изменение углов θи φопределяются соотношениями:

здесь и - полярные координаты в плоскости .

С учетом (2.52) находим:

С учетом (2.52) находим:

C учетом (2.54) находим:

Подстановка (2.56) в (2.55) с учетом (2.62)-(2.64) приводит к следующему результату:

С учетом (2.61) интегральное выражения (2.65) можно преобразовать к следующему виду:

После интегрирования по переменным χи Zинтеграл (2.66) принимает вид:

Устойчивому состоянию вихря будет отвечать минимум энергии (2.67), которой будут соответствовать такие изменения угла θ,при которых вариация функционала (2.67) обращается в нуль.

Вычислим вариацию функционала (2.67), приравняв ее к нулевому значению:

55

На основании (2.90) и (2.91) с учетом (2.89) после несложных математических преобразований находим:

Согласно (2.93) сумма квадратов проекций скоростей на оси X и Y описывает в плоскости, перпендикулярной оси вращения, окружности переменного радиуса, значение которого определяется выражением в правой части (2.93).

Представление об изменении значения скоростей дают графики, представление на рисунках 2.5 - 2.7.

Рисунок 2.5. График изменения компоненты скорости U_xпри изменении координат Г и φ.

Изменение компоненты скорости U_xдвижения смеси (рис. 2.5) в зависимости от радиального расстояния от оси вращения носит нелинейный характер, а в зависимости от угла поворота лопасти носит периодический характер, то есть изменение скорости по оси φпроисходит по закону косинуса. При чем, максимальная амплитуда перемещается с ростом радиального расстояния.

Рисунок 2.6. График изменения компоненты скорости Uyпри изменении координат Г и φ.

Изменение компоненты скорости U_yдвижения смеси (рис.2.6) в зависимости от координат гиф носит аналогичный характер, как и у компоненты скорости U_x,а именно, от радиального расстояния носит нелинейный характер, а от угла поворота лопасти - периодический характер, то есть изменяется по закону синуса. При этом амплитуда уменьшается с увеличением расстояния от оси вращения.

Изменение компоненты скорости U_zдвижения смеси (рис.2.7) при изменении длины лопасти вертикального вала от 0 до 0,04 м резко возрастает, а от 0,04 до 0,14 м значение скорости практически не меняется (стремится к своему предельному значению в зависимости от частоты вращения лопасти), т.е. при

ω=8,3 с^-1U_zстремится к 0,35 м/с, а при ω=9c^-1U_zстремится к своему предельному значению, равному 0,8 м/с.

Рисунок 2.7. График изменения компоненты скорости U_zпри изменении координат Г.

Верхняя кривая соответствует значению частоты вращения лопасти - ω=9c^¹. Нижняя кривая соответствует значению частоты вращения лопасти - ω=8.3c^¹

Таким образом, полученные аналитические выражения (2.90) - (2.93) полностью описывают скоростной режим движения частицы смеси в вихревой зоне.

2.2.