Процесс смешивания двухкомпонентной смеси в планетарном смесителе
Процесс изменения концентрации компоненты сухой смеси в планетарном смесителе рассмотрим в рамках диффузионной модели [166]. При этом будем считать, что движение материала осуществляется как в вертикальном направлении со средним значением скорости перемещения материала
так и в радиальном направлении со средним значением коэффициента радиального перемешивания
На основании сказанного уравнение, описывающее изменение концентрации 
в рамках двухпараметрической диффузионной модели имеет следующий вид [93]:
где
- коэффициент вертикального перемешивания материалов смеси в планетарном смесителе.
Вычислим:
Применив (2.82) к (2.91), находим, что:
Подстановка (2.92) в (2.90) дает следующий результат:
Решение уравнения (2.93) представим в следующем виде:
77
Применив (2.94) к (2.93) находим:
В результате несложных математических операций соотношение (2.95) можно привести к виду:
На основании (2.96) получаем следующие уравнения:
Интересующее нас решение уравнения (2.97) в точке r = 0 должно быть ограниченным.
Поэтому искомое решение имеет следующий вид:
где
- функция Бесселя первого рода.
Решение уравнения (2.97) должно удовлетворять следующему граничному условию:
где Rk- радиус цилиндрического корпуса планетарного смесителя.
Применив (2.100) к (2.99), находим, что:
откуда следует, что:
78
здесь
- первый корень функции Бессель
равный 2,404.
Решение уравнения (2.98) ищем в следующем виде:
где параметр βможно найти из характеристического уравнения:
Уравнение (2.104) имеет два корня:
В силу того, что нас интересует убывающее решение уравнения (2.98), поэтому искомое решение уравнения (2.98) представим в следующем виде:
где используется следующее обозначение:
Подстановка (2.107) и (2.99) в (2.94) с учетом (2.102) и (2.82) приводит к следующему результату:
где C0- начальное значение концентрации выделенной компоненты смеси, отвечающей значениям z = 0; r = 0.
Если при t→∞ обозначить конечное предельное значение концентрации выделенной компоненты смеси через Спр, тогда изменение концентрации
79 выделенной компоненты в процессе смешивания будет описываться следующей функциональной зависимостью:
Таким образом, полученное аналитическое выражение (2.110) отражает изменение концентрации выделенной компоненты смеси в объеме корпуса планетарного смесителя в зависимости от таких конструктивных параметров машины как радиус корпуса, и таких технологических параметров как время и скорость перемещения компонентов.
2.6.