Определение координат расположения и скорости движения стержней планетарного смесителя.
Для нахождения координат установки цилиндрических стержней диаметром d0по спиралевидной кривой на плоскости шестерни, которая в, свою очередь, перекатывается по зубчатому венцу, закрепленному на внутренней поверхности цилиндрического корпуса смесителя, введем полярную систему координат r(φ)с центром в точке (0,0).
Рисунок 2.2. Расчетная схема для определения координат установки месильных
цилиндрических стержней.
Точками на расстоянии rnобозначены местоположения смешивающих стержней (вид сверху) рисунок 2.2.
Согласно расчетной схеме, представленной на рисунке 2.2, уравнение спиралевидной кривой представим в следующем виде:
rn-радиальное расстояние от начала координат до «п» стержня,
где Г1- расстояние от начала координат до первого цилиндрического стержня; φn- угол, выраженный в радианах, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до установки цилиндрического «п» стержня.
Для нахождения параметра «а» в формуле (2.1) нужно воспользоваться граничным условием:
здесь φk- угол, выраженный в радианах, который образует последний «k» цилиндрический стержень с радиальным расстоянием «rk».
С учетом (2.2) выражение (2.1) принимает вид:
На основании (2.3) находим значение параметра «а»:
/ к
Подстановка (2.4) в (2.1) приводит к следующему результату:
Ψκ
При равномерном расположении месильных цилиндрических стержней на плоскости подвижной шестерни для углов «фп» можно записать следующее соотношение:
n0
где по - общее число установленных цилиндрических стержней.
В целях устранения вероятности образования застойной зоны в центре корпуса смесителя при перемешивании сухих смесей расположим в центре плоскости подвижной шестерни (нулевой) цилиндрический стержень [8].
Очевидно, он будет иметь следующие координаты:
Таким образом, расположение месильных цилиндрических стержней по спиралевидной кривой (2.5) и размещение в центре плоскости шестерни дополнительного стержня (2.7) позволяет избежать при перемешивании сухих смесей образования застойных зон за счет полного охвата объема корпуса смесителя.
В результате перекатывания по зубчатому венцу, закрепленному на внутренней поверхности цилиндрического корпуса смесителя, цилиндрические стержни, расположенные в плоскости подвижной шестерни, будут совершать движение по сложным траекториям, которые получили название гипотрохоид [156].
Согласно [61,164] параметрическое уравнение траектории(гипотрахоиды), по которой движется «п» цилиндрический стержень будет определяться следующими соотношениями:
V
'0 √
где го- радиус круга подвижной шестерни;
R0- внутренний радиус неподвижной шестерни;
φ- определяет изменение угла в плоскости перпендикулярной оси вращения от точки с координатами φn, Гп до точки φn+2π, rrι.
Вычислим длину пути, который проходит «п»-ый стержень за один полный оборот подвижной шестерни:
54
Интеграл в выражении (2.16) нельзя вычислить на базе элементарных функций. Его значение (2.16) можно найти приближенно численными методами.
Величина скорости движения цилиндрических стержней в корпусе рассматриваемого смесителя равна:
это есть проекции скорости движения стержней на оси декартовой системы координат.
С учетом (2.11), (2.18) принимает вид:
Подстановка (2.12) в (2.19) приводит к следующему результату:
Если учесть, что связь между углом поворота φподвижной шестерни, циклической частотой ω0 [76] и временем tзадается соотношением:
тогда формулы (2.20) и (2.21) принимают вид:
Вычислим:
55
Подстановка (2.25) в (2.17) позволяет получить следующий результат:
Представление о характер изменения траектории движения рабочих органов в зависимости от радиуса их установки относительно центра вращения и изменения их скорости дают графики, представленные на рис. 3-7 [88].
Например, для следующих значений конструктивных и технологических параметров:
График параметрической траектории, по которой совершает движение цилиндрический стержень, расположенный в плоскости подвижной шестерни на расстоянии, rι=0,023 м, что в формулах (2.8), (2.9) соответствует параметру n = 1, представлен на рис. 2.3.
Рисунок 2.3. График параметрической траектории цилиндрического стержня при n = 1
На представленном графике видно, что первый стержней, размещенный максимально близко к центру подвижной шестерни совершает движения по заданной траектории и охватывает область относительно центра системы координат на расстоянии равном 0,08 м., ширина одного витка Нв имеет максимальный размер.
График представленный на рисунке 2.4 представлен в виде кривой траектории, описываемой вторым рабочим органом n=2,получен с учетом его расположения в плоскости подвижной шестерни на расстоянии, r2=0,0287 м.
Рисунок 2.4. График параметрической траектории цилиндрического стержня при n = 2
В отличие от первого стержня у второго траектория начинает удлиняться и уходить на расстояние более 0,08 м., тем самым увеличивая зону воздействия рабочих органов на частицы материала.
Таким же образом наблюдается увеличение длинны кривой следующего третьего стержня n=3, расположенного на расстоянии r3=0,0345м. На графике изображённом на рисунке 2.5 мы видим уже более явное изменение ширины описываемой стержнем фигуры и увеличение длинны траектории. Максимальное удаление относительно центра оси координат равно 0,09 м.
Движение, описываемое четвертым рабочим органом, расположенным на расстоянии, r4=0,0402 м, так же выполняется по гипотрохоиде, что видно на
рисунке 2.6, однако форма фигуры, описываемой на плоскости уже намного сильней отличается от формы в первом случае. Ширина одного витка уменьшилась на 0,01 м, а длинна увеличилась на 0,02 м, то есть мы наблюдаем постепенное, а главное равномерное увеличение зоны воздействия на частицы материала.
Рисунок 2.5. График параметрической траектории цилиндрического стержня при п= 3
Рисунок 2.6. График параметрической траектории цилиндрического стержня при п= 4 Характер перемещения пятого стержня (рис.2.6), расположенного на расстоянии r5=0,048 м показывает уменьшение расстояния между траекториями в
центре системы координат и уменьшение ширины каждой петли, а максимальное удаление стержня увеличилось на расстояние более 0,10 м.
Рисунок 2.7. График параметрической траектории цилиндрического стержня при п= 5
Шестой стержень расположенный на расстоянии, г6=0,0517 м, показывает уже абсолютно непохожий на предыдущие графики результат, стержень начинает переходить на все более отдаленные участки корпуса, при этом наблюдается более точечное воздействие в центре траектории движения и уменьшение ширины витка до 0,05 м. Его траектория показана на рисунке 2.8.
Рисунок 2.8. График параметрической траектории цилиндрического стержня при п = 6
Стержень под номером 7 установленный на расстоянии, r7=0,0575 м, от центра шестерни, так же, как и в предыдущем случае продолжает удлиняться на расстояние 0,12 м, а центральная часть траектории (изображена на рисунке 2.9) начинает опять расширяться, но уже изгиб кривой происходит в обратную сторону.
Рисунок 2.9. График параметрической траектории цилиндрического стержня при n = 7
График параметрической траектории (рис.2.10), восьмого стержня, установленного на расстоянии r8=0,0632 м, демонстрирует увеличение площади центральной части фигуры описываемой данным стержнем и увеличение общего
Рисунок 2.10. График параметрической траектории цилиндрического стержня при n = 8
Характер движения следующего, девятого стержня (изображён на рисунке 2.11) который установлен на расстоянии, r9=0,0690 м, показывает, что максимальное расстояние изменилось до 0,12 м, а ширина витка Нв уменьшилась до 0,025 м, что позволяет данному рабочему органу воздействовать уже на более отдаленные участки корпуса и обеспечивать непрерывное и равномерно перемешивание во всем объеме корпуса.
Рисунок 2.11. График параметрической траектории цилиндрического стержня при п= 9
Десятый стержень размещенный уже практически на максимальном расстоянии, гю = 0,0747 м, что в формулах (2.8), (2.9) соответствует параметру п= 10, представлен на рис. 2.12. Кривая изменила свою максимальную длину до 0,13 м, а ширина фигуры описываемой стержнем уменьшилась до значения равного 0,02 м.
Предпоследний крайний стержень удаленный от центра шестерни на величину равную r10 =0,0805 м, описывает кривую с длинной уже чуть более 0,14 метра, при значительно уменьшенной ширине всех петель относительно установки стержней в первом случае. Так же наряду с сужением и удлинением общей площади фигуры описываемой стержнем, наблюдается увеличение расстояния между кривыми ближе к центру системы координат.
61
Рисунок 2.12. График параметрической траектории цилиндрического стержня при n=10
Это очень важно так как мы наблюдаем более точечное воздействия ближе к краям стенки корпуса, где зачастую образуются застойные зоны снижающие общее качество смешивания. Можно сделать заключение что мы не только обеспечиваем охват всего объема смеси в корпусе смесителя, но и увеличиваем интенсивность воздействия в самых отдаленных участках корпуса, что несомненно является положительным результатом.
Последний стержней расположен на расстоянии, r11=0,0805 м, что в формулах (2.8), (2.9) соответствует параметру n=11, представлен на рис. 2.13. В данном случае воздействие рабочего органа сосредоточено по периферии (позиция 1 на рисунке 2.13) корпуса и максимальный размах зоны воздействия увеличивается до 0,15 м при максимальном сужении петли кривой траектории до 0,015 м.
При этом в центральной части наблюдается увеличение расстояния между кривыми и снижения более точечного воздействия, однако в нашем случае данная площадь будет покрыта траекторией стержня, размещенного на меньшем расстоянии от центра шестерни.
62
Рисунок 2.13. График параметрической траектории цилиндрического стержня при п= 11 1-зона воздействия у периферии, 2-зона воздействия в центре.
При наложении всех полученных кривых можно получить общее пятно воздействия рабочих органов рис.2.14 и рис.2.15.
Рисунок 2.14. Суммарное пятно кривых воздействующих на смесь при радиусе спирали 0,07м. 1-застойная зона, 2-зона воздействия у края емкости.
В первом случае при уменьшении значения радиуса спирали, по которой установлены стержни мы наблюдаем образование застойных зон, показанных на рисунке 2.14 позицией 1. Это связано с тем что при таких геометрических параметрах перекрытие объема емкости рабочими органами сосредоточено у края (позиция 2 на рисунке 2.14). Во втором случае как показано на рисунке 2.15 при увеличении радиуса спирали рабочие органы начинают эффективней воздействовать по всему объему емкости, как между средней и крайней часть, так и у самого края. Это происходит за счет более оптимальной траектории установки рабочих органов в том же объеме смесителя.
Рисунок 2.15. Суммарное пятно кривых воздействующих на смесь при радиусе спирали 0,09 м 1-зона воздействия между краем и центром, 2-зона воздействия у края емкости.
Таким образом, полученные уравнения (2.8), (2.9) и (2.26) кинематики движения позволяют рассчитать оптимально эффективные траектории движения не только единичного стержня, но и всех стержней и их скорости. Что в целом позволяет оценить эффективность процесса перемешивания материала по всему объему смесителя и спроектировать любого типоразмера. Изменяя шаг установки
стержней мы тем самым задаем любую интенсивность(турбулентность) процесса перемешивания.
2.2.